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Wann wirtsch. Nutzungsdauer bei Kalk.Zins erreicht

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Barwert, Finanzmathematik, Kalkulationszinssatz

freak845 aktiv_icon

21:27 Uhr, 15.12.2019

Hallo Leute,
sitze jetzt schon einige Zeit an einer Aufgabe, allerdings finde ich keine plausbible Lösung:
DIe Aufgabe Lautet:

Eine Maschine mit Investitionskosten in Höhe von 1 Mio. € hat eine technische Nutzungsdauer von 5 Jahren. Die zu erzielenden Einnahmeüberschüsse und die jeweiligen Liquidationserlöse

(\in

€) für die Maschine ergeben sich aus der nachfolgenden Tabelle. Zu welchem
Zeitpunkt ist die wirtschaftliche Nutzungsdauer bei einem Kalkulationszinssatz von

10 %

erreicht? Berechnen Sie dazu für alle 5 Jahre die Barwerte.

n =_{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_1_{_}__{_}__{_}__{_} 2_{_}__{_}__{_}__{_} 3_{_}__{_}__{_}__{_}__{_} 4_{_}__{_}__{_}_5

Einnahmeüberschüsse

600.000; 550.000; 450.000; 300.000; 150.000;

Liquidationserlöse

__{_}_800.000; 600.000; 400.000; 200.000; 0

Bin auf eure Rückmeldungen gespannt!

P . S

. Das soll eine Tabelle sein, wusste nicht wie ich sie besser darstellen kann
Liebe Grüße
Philipp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Enano

02:24 Uhr, 16.12.2019

Hallo Philipp,

wie sehen denn deine Lösungen aus und wieso glaubst du, dass sie nicht plausibel sind?
Wo ist das Problem, für jedes Jahr die Kapitalwerte zu berechnen?

Gruß
Enano

freak845 aktiv_icon

22:17 Uhr, 16.12.2019

Hallo,
meine Lösungen lauten:

Barwert bei

n = 1

222968,9€
Barwert bei

n = 2

283810,5€
Barwert bei

n = 3

140999,31€
Barwert bei

n = 4

-214071,9€
Barwert bei

n = 5

-647530€

Jeweils berechnet mit B=Inv.

+ Z \cdot f 1 (n, i) + R \cdot a (n, i)

Die Frage lautet ja: ".. zu welchem Zeitpunkt ist die wrtschaftliche Nutzungsdauer bei einem Kalkulationszinssatz von

10 %

erreicht?"
Ich kann aus den Ergebnissen ehrlich gesagt keine passende Antwort schlussfolgern.
Evtl. liegen meine Ergebnisse auch komplett nebendran, ich weiß es nicht

:' D

Liebe Grüße

Enano

04:19 Uhr, 17.12.2019

Hallo,

ich komme, zumindest für die ersten beiden Jahre, auf andere Kapitalwerte:

C_{0} (n = 1) = - 1000000 + \frac{600000}{1,1} + \frac{800000}{1,1} =

272727,27€

Wenn die Maschine 1 Jahr genutzt wird und dann verkauft, werden bei der Ermittlung des Kapitalwertes die Investitionskosten berücksichtigt, sowie der auf den Investitionszeitpunkt abgezinste Einnahmeüberschuss und Liquidationserlös.

C_{0} (n = 2) = - 1000000 + \frac{600000}{1,1} + \frac{550000}{{1,1}^{2}} + \frac{600000}{{1,1}^{2}} =

495867,77€

usw.

"Zu welchem Zeitpunkt ist die wirtschaftliche Nutzungsdauer bei einem Kalkulationszinssatz von

10 %

erreicht?"

Vorteilhaft ist die Nutzung der Maschine, wenn mit ihr ein höheres Endvermögen realisiert werden kann, als bei einer alternativen Anlage des Investitionsbetrages zum Kalkulationszinssatz.

Wird die Maschine gekauft, beträgt das Endvermögen nach

z . B

. einjähriger Nutzung und anschließendem Verkauf der Maschine:

E V_{I} = 600000 + 800000 =

1400000€

Wird die Maschine nicht gekauft, sondern die 1000000€ zum Kalkulationszinssatz von

10 % p . a

. für 1 Jahr angelegt, beträgt das Endvermögen:

E V_{U} = 1000000 \cdot 1,1 =

1100000€

Δ

= E V_{I} - E V_{U} = 1400000 - 1100000 =

300000€

Das Endvermögen ist also bei diesem Beispiel bei Kauf und Nutzung der Maschine um 300000€ höher, als bei Anlage des Investitionsbetrages zum Kalkulationszinssatz.

Wird die Endvermögensdifferenz auf den Investitionszeitpunkt abgezinst, ergibt sich der Kapitalwert:

C_{0} (n = 1) = \frac{300000}{1,1} =

272727,27€

Der Kauf und die Nutzung der Maschine wäre also von Vorteil, wenn der Kapitalwert positiv ist. Bei diesem Beispiel wäre das offensichtlich schon nach einem Jahr der Fall.

freak845 aktiv_icon

20:57 Uhr, 17.12.2019

Hi und danke für deine Rückmeldung!
Mir scheint dein Ergebnis plausibel.

Nur wieso beziehst du in deine Kapitalbarwertberechnung nicht den Barwertfaktor

f 1

an der spezifisch für die

10 %

und jedes Jahr ist (so wie in meiner Rechnung oben)?
Habe ich da einen Denkfehler?

Liebe Grüße

freak845 aktiv_icon

21:29 Uhr, 17.12.2019

Was hast du für die anderen Jahre raus?
Habe
n(2)=495867,75€
n(3)=89406,46€
n(4)=-113038,72€
n(5)=-361407,25€

LG

Enano

23:20 Uhr, 17.12.2019

"Nur wieso beziehst du in deine Kapitalbarwertberechnung nicht den Barwertfaktor

f 1

an der spezifisch für die

10 %

und jedes Jahr ist (so wie in meiner Rechnung oben)?"

Warum habe ich wohl die Einnahmeüberschüsse und Liquidationserlöse durch

1,1

bzw.

{1,1}^{2}

geteilt ?

Der Barwertfaktor für

n = 1

und einem Kalkulationszinssatz von

10 % p . a

. ist doch:

\frac{1}{{(1 + 0,1)}^{1}} = \frac{1}{1,1} = 0,909 . .

.

Das bedeutet, dass anstatt

z . B

600000 \cdot 0,909 . .

. auch geschrieben werden kann

600000 \cdot \frac{1}{1,1}

oder eben

\frac{600000}{1,1}

.

War es das, was du wissen wolltest?

Wie bist du denn auf einen Barwert von

z . B

. 140999,31€ bei deiner ersten Rechnung und einen von 89406,46€ bei deiner zweiten Rechnung bei einer Nutzungsdauer von drei Jahren gekommen ? Bitte einmal vorrechnen, damit ich es verstehe.

freak845 aktiv_icon

14:45 Uhr, 22.12.2019

Hallo,
die Ergebnisse habe ich erhalten, indem ich in die von dir gepostete Rechnung weiter eingesetzt habe:

C0(n=2)=−1000000+ 600000/1,1 + 550000/(1,1)²+600000/(1,1)²= 495867,77€
C0(n=3)=−1000000+ 600000/1,1 + 450000/(1,1)³+600000/1,1)³= 89406,46€
C0(n=4)=−1000000+ 600000/1,1 + 300000/(1,1)⁴+600000/(1,1)⁴= -113038,72€
C0(n=5)=−1000000+ 600000/1,1 + 150000/(1,1)⁵= -361407,25€

Mit dem Barwertfaktor hatte ich einen Denkfehler...danke für deine Richtigstellung!
Wieso beziehst du in die Rechnung ab n=2 600000/1.1 ein?
LG

Enano

18:23 Uhr, 22.12.2019

Hallo,

erfreulich, dass du dich noch einmal meldest.

"die Ergebnisse habe ich erhalten, indem ich in die von dir gepostete Rechnung weiter eingesetzt habe:"

Ich habe bei meiner Rechnung für die ersten beiden Jahre aber alle Einnahmeüberschüsse und den entsprechenden Liquidationserlös berücksichtigt, du offensichtlich aber nicht bei einer Nutzungsdauer von

3, 4

und 5 Jahren.

n = 3 :

Warum hast du nicht den Einnahmeüberschuss von 550000€ aus dem 2. Jahr berücksichtigt, wohl aber den aus dem ersten Jahr?
Wieso zinst du nach 3 Jahren ein zweites Mal 600000€ ab? Der Liquidationserlös beträgt doch nach 3-jähriger Nutzung nur noch 400000€.

n = 4 :

Warum hast du nicht die Einnahmeüberschüsse aus dem 2. und 3. Jahr von 550000€ und 450000€ berücksichtigt, wohl aber den Einnahmeüberschuss aus dem ersten Jahr?
Wieso zinst du nach 4 Jahren ein zweites Mal 600000€ ab? Der Liquidationserlös beträgt doch nach 4-jähriger Nutzung nur noch 200000€.

n = 5 :

Warum hast du nicht die Einnahmeüberschüsse aus dem

2 ., 3

. und 4. Jahr berücksichtigt, wohl aber den Einnahmeüberschuss aus dem ersten Jahr?

"Wieso beziehst du in die Rechnung ab

n = 2 \frac{600000}{1.1}

ein?"

Aber warum machst du das offensichtlich auch, obwohl du es nicht verstehst?

Bereits ab dem ersten Jahr habe ich die 600000€ berücksichtigt, weil das der Einnahmeüberschuss nach dem ersten Nutzungsjahr ist und der geht doch nicht verloren, auch wenn die Maschine noch weitere Jahre genutzt wird.

Vielleicht ist aber auch deine Tabelle falsch oder ich habe sie falsch interpretiert.

freak845 aktiv_icon

19:58 Uhr, 22.12.2019

Hi,
danke für deine Rückmeldung.
Genau, weil ich es nicht verstehe.

Könntest du deine Berechnung Co für n=3 posten? Dann wird es eventuell klarer. Dadurch dass Liquidationserlös bei n=2 und Einnahmeüberschuss bei n=1 gleich sind, ist es mir etwas unklar wie du vorgehst.

Danke vorab und lg

Enano

21:04 Uhr, 22.12.2019

"...ist es mir etwas unklar wie du vorgehst."

Der Kapitalwert oder Nettobarwert ist der Barwert aller Einzahlungen (Mittelzuflüsse beim Investor) minus dem Barwert aller Auszahlungen (Mittelabflüsse beim Investor).

Dein Beispiel beinhaltet eine Auszahlung, nämlich die Investitionskosten von 1 Mio.€ und jährliche Auszahlungen, nämlich die Einnahmeüberschüsse und ggf. den Liquidationserlös durch den Verkauf der Maschine.
Somit ergibt sich nach

z . B

. 3-jähriger Nutzungsdauer der Maschine und deren Verkauf folgender Kapitalwert:

C_{0} (n = 3) = - 1000000 + \frac{600000}{1,1} + \frac{550000}{{1,1}^{2}} + \frac{450000}{{1,1}^{3}} + \frac{400000}{{1,1}^{3}}

supporter aktiv_icon

08:52 Uhr, 23.12.2019

Einnahmeüberschüsse sind Einzahlungen.

Enano

16:10 Uhr, 23.12.2019

Ja, danke supporter, es sollte selbstverständlich bei den Einnahmeüberschüssen und dem Liquidationserlös “Einzahlungen“(positive Werte),d.h. Mittelzufluss beim Investor, anstatt “Auszahlungen“ heißen.

freak845 aktiv_icon

15:24 Uhr, 24.12.2019

Danke für eure Antworten, ist mir klar geworden!
LG

Jessy87 aktiv_icon

16:27 Uhr, 02.04.2024

Hi grüße dich. Kannst du mir die Ergebnisse für deine Aufgabe mit dem Lösungsweg bitte zuschicken? Vielen Dank im Voraus.

larablum89@web.de

LG.
Jessy

KL700 aktiv_icon

17:09 Uhr, 02.04.2024

Du musst nur die jeweiliegn Überschüsse und Liquidationserlöse abzinsen:

nach 4 Jahren:

- 1000.000 + \frac{600000}{1,1} + \frac{550000}{{1,1}^{2}} + \frac{450000}{1} . 1^{3} + \frac{300000}{{1,1}^{4}} + \frac{200000}{{1,1}^{4}} =

analog für alle anderen Jahre

Jessy87 aktiv_icon

18:00 Uhr, 02.04.2024

Das sind meine Zahlen
Einnahmeüberschüsse

650000_{550000}_450000_{340000}_160000

Liquidationserlöse

750000_{600000}_350000_{200000}_0

Anfangsinvestition 1,1mio
Kalkulationszinssatz

10 %

Meinst du vielleicht so?

1.Jahr

C_{0} (n = 1) =

-1100000+650000/1,1+750000/1,1=172.727,27€

2.Jahr

C_{0} (n = 2) =

-1100000+650000/1,1+550000/〖1,1〗^2 +600000/〖1,1〗^2 =441.322,31€

3.Jahr

C_{0} (n = 3) =

-1100000+650000/1,1+550000/〖1,1〗^2 +450000/〖1,1〗^3 +350000/〖1,1〗^3 =646506,39€

4.Jahr

C_{0} (n = 4) =

-1100000+650000/1,1+550000/〖1,1〗^2 +450000/〖1,1〗^3 +340000/〖1,1〗^4 +200000/〖1,1〗^4 =652.373,47€

5.Jahr

C_{0} (n = 5)

= -1100000+650000/1,1+550000/〖1,1〗^2 +450000/〖1,1〗^3 +340000/〖1,1〗^4 +160000/〖1,1〗^5 +0/〖1,1〗^5 =615.118,19€

KL700 aktiv_icon

19:24 Uhr, 02.04.2024

Du darfst die 1 Mio. nicht aufzinsen. Das ist der Vergleichsbarwert.

Ich habe den Kapitalwert berechnet, der positiv sein sollte, damit die Investition sich lohnt.

Du kannst die Mio. auch weglassen und erhälst die Barwerte der Überschüsse

+

Liquid.erlöe.

Ab dem Jahr, wo der Kapitalwert

\geq 0

ist, ist die wirtsch. Nutzungsdauer erreicht.

Jessy87 aktiv_icon

00:05 Uhr, 03.04.2024

Ein Unternehmen hat zwei Investitionsalternativen A und

B

zur Auswahl. Für beide wurden jeweils die Barwerte unter optimistischen, wahrscheinlichen und pessimistischen Zinssatzannahmen berechnet. Sie lauten wie folgt:
Investition A Investition

B

Barwert optimistisch

90

Mio. €

110

Mio. €
Barwert wahrscheinlich

75

Mio. €

90

Mio. €
Barwert pessimistisch

60

Mio. €

65

Mio. €

Zu welcher Investition raten Sie dem Unternehmen, wenn die Barwerte ß-verteilt sind? Berechnen Sie die Erwartungswerte (mit einer Wahrscheinlichkeit von

50 %)

und Standardabweichungen.

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe lösen? Ich verzweifele

: - (

KL700 aktiv_icon

07:01 Uhr, 03.04.2024

Ich kenne diese Verteilung nicht.
Vlt. hilft dir:

www.wikiwand.com/de/Beta-Verteilung

Ich könnte mir vorstellen, dass HAL9000 etwas dazu sagen kann. Warte ab!

HAL9000

16:12 Uhr, 04.04.2024

Allzu viel kann ich hier auch nicht sagen: Anscheinend soll es um eine verallgemeinerte Betaverteilung mit den vier Parametern

a, b, p, q

gehen, bestimmt durch W-Dichte

f (x) = \frac{1}{B (a, b, p, q)} {(x - a)}^{p - 1} {(b - x)}^{q - 1}

für

a \leq x \leq b

, sonst Dichtewert 0,

dabei ist

B (a, b, p, q) = \frac{Γ (p) Γ (q)}{Γ (p + q)} {(b - a)}^{p + q - 1}

der Normierungsfaktor.

Es ist wohl so gemeint, dass der pessimistische Wert dann jeweils

a

, der optimistische

b

, und der wahrscheinlichste entspricht Modalwert

m = \frac{a (q - 1) + b (p - 1)}{p + q - 2}

.

Aus den Angaben der Aufgabe kann man aber dann jeweils nicht

p, q

berechnen, sondern nur das Verhältnis

\frac{p - 1}{q - 1}

. Bei Investition A reicht das zur Bestimmung des Erwartungswert - bei Investition B jedoch nicht. Die Standardabweichung kann bei beiden Investititionen damit nicht eindeutig bestimmt werden.

D.h. irgendeine Info fehlt zur eindeutigen Bestimmung der Betaverteilungs-Parameter

p, q

. ?(

Mir ist in dem Kontext zudem unklar, was mit der Formulierung gemeint ist, die Erwartungswerte mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% zu berechnen: Entweder man berechnet sie oder lässt es sein. Allenfalls denkbar wäre noch ein 50%-Konfidenzintervall für den Erwartungswert, aber dazu müsste man ein a-priori-Verteilung für

p

oder

q

hier vorliegen haben, welche ich weit und breit nicht sehe.

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