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Warum Endomorphismus keine Gruppe

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Gruppen

Tags: Endomorphismus, Gruppen

firen1989 aktiv_icon

13:08 Uhr, 06.02.2019

Hallo,

wir hatten eine Multiple-Choice Aufgabe, in der gefragt worden ist:
Warum handelt es sich bei "(EndK(V),∘), wobei

V

ein Vektorrraum über einen Körper

K

ist." nicht um eine Gruppe?

Mit den Optionen:
Die Operation ist auf der angegebenen Menge nicht abgeschlossen.
Die Operation ist nicht assoziativ.
Es existiert kein neutrales Element.
Es existiert nicht für alle Elemente ein inverses Element.
Die Operation ist nicht kommutativ.

Wobei die vierte Antwort korrekt ist. Mir ist nicht klar, warum das so ist. Und mir ist auch nicht klar, warum die dritte Aussage es nicht ist.
Ich bin generell verwirrt, warum man auf die Idee kommt, den Endomoprhismus selbst als Gruppe anzusehen. Der Endomorphismus sagt doch nur etwas darüber aus, dass die Abbildung innerhalb einer Menge stattfindet, aber ja nichts über die Eigenschaften der Menge selber, oder?

Danke im Voraus!

michaL aktiv_icon

14:08 Uhr, 06.02.2019

Hallo,

Endomorphismen müssen nicht bijektiv sein (sonst hießen sie ja Isomorphismen).
Daher wird es i. A. keine Inversen geben...

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

16:08 Uhr, 06.02.2019

Hallo,
ich glaube wegen deines befremdlichen Wortgebrauchs, dass du dir unter End(

V

) etwas
ganz Anderes vorstellst als gemeint ist.
End(

V

) ist nicht "der Endomorphismus", sondern die Menge
aller Endomorphismen von

V

, also der Endomorphismenring
bzgl. "+" und der Hintereinanderausführung "

\circ

godzilla12 aktiv_icon

18:15 Uhr, 06.02.2019

< <

Die Operation ist auf der angegebenen Menge nicht abgeschlossen.

Was ist dazu zu sagen?

Sei

M

eine Menge; die Abbildungen

b (M) := {f : M \to M;

} (1 a)

ist trivial abgeschlossen ( mit hintereinander Ausführung ) Das gilt entsprechend für

End

(V) \subset

b (V) (1 b)

( Ring

K (n X n)

der quadratischen Matrizen

!)

Hier was ist da los? In ( 1ab ) wollte ich A "

b

" "

b

" schreiben für " Abbildung " Plötzlich wird mein ganzer Vorschautext flammend rot überblendet von der Verbotstafel

" Unexpected character: be be "

Ist das jetzt, weil so viel Kraftausdrücke ein be be enthalten wie

z . B

. " Ibbiot " , " Sbbinner " , " Bbussel " , " Bbummkopf " und auch
( Er nimmt es schon wieder nicht; tausche in dem Wort " Depp " alle Konsonanten durch ein "

B

" aus

. .

. )
Kennst du den Unterschied zwischen attributiven und prädikativen Adjektiven? Diese Formen spielen in der Frankfurter Grammatik eime heraus ragende Rolle.

" Die Tür ist auf; die Tür ist zu. "
" Die aufene Tür; die zu-ene Tür. "
" Das Licht ist an; das Licht ist aus. "
" Das annene Licht; das ausene Licht. "
" Das Kleid ist rosa, lila, orange, beige. "
" Das rosane, lilane, orangene, beigene Kleid. "
" Der Knopf ist ab. "
" Der aBBene Knopf. "

D . h

. dieser Editor verbietet die Verdopplung des Buchstabens "

B

" , damit dieser Grammatikfehler nicht gemacht wird

. .

.
Oder dieser Editor hat einen Freudschen Sexualkomplex. Da du die

\to

Gnade der späten Geburt hast, muss ich dir erklären, wer " die "

(B) (B)

war; die Initialen des Pariser Sexidols

\to

Brigitte Bardot.
Wir waren ja sooo harmlos

...

.
Eine Karikatur ist überschrieben: " DER Auto "

Man sieht einen PKW ; die Bardot kommt des Weges.
Alle vier türen öffnen sich automatisch

. .

.

Meine Diagnose: Wir leben doch jetzt im Zeitalter des " Me Too "

Dieser Editor leidet an dem Komplex: Die Bardot wenn je " Me Too " für sich rekllamiert hätte. DER hättest du es jeder Zeit widerlegen können.

< <

Die Operation ist nicht assoziativ.

(1 a)

ist trivial assoziativ ( und vererbt die selbe somit auf

(1 b))

( Die Matmul ist assoziativ

(!!!))

< <

Es existiert kein neutrales Element.

Bereits

(1 a)

enthält ein neutrales Element, die Identität " id "
( Seltsam; die Buchstabenkombination " ID " lässt er zu. Obwohl sie doch am Anfang des Wortes " Idiot " vorkommt

. .

. )
Auch die Identität vererbt sich auf

(1 b)

als Einheitsmatrix.

< <

Es existiert nicht für alle Elemente ein inverses Element.

Gay now here lies se bunny inse pepper

. .

.

Unser Assistent sagte immer:

" Wenn Sie eine Behauptung widerlegen wollen, geben
sie ein EINZIGES GEGENBEISPIEL an. "

In

(1 b)

ist das die Nullmatrix. ( Genau genommen reden wir hier von einem Vektorraum, der nicht nur den Nullvektor enthält. In diesem entarteten Nullraum wäre

(1 b)

tatsächlich die triviale Gruppe aus einem Element.)
Ätsch bätsch; hat dein Prof wieder mal das klein Gedruckte nicht beachtet

. .

.
Weitere Gegenbeispiele findest du übrigens nicht, ohne die spezielle Struktur des Zahlenkörpers

K

zu bemühen. So kannst du etwa

K

auffassen als Vektorraum über sich selbst; und dann gibt es sicher keine singuläre mehr außer der " Nullmatrix " ( Warum? )

< <

Die Operation ist nicht kommutativ.

Das Kommutativgesetz ist nicht Teil der Gruppenaxiome; dieser Einwand sticht überhaupt nicht.
In angelsächsischen Büchern findest du am ende des Kapitels oft " Historical Notes " ; und auch ich möchte dich nicht dumm sterben lassen.
Zunächst sagte man, das Kommutativgesetz lassen wir fallen, weil wir sonst die interessantesten Gruppen ausklammern müssten ( Symmetriegruppen,

\to

Rubikwürfel, Vertauschungsgruppen )
( Permutationsgruppen; ich spreche Deutsch. )
Aber auch die GL(

n; K)

Jetzt schau mal in dein Skript, was es alles über Gruppentheorie zu wissen gibt; das meiste Zeug wäre sofort trivial, bestündest du auf Kommutativität.
Nur ein Beispiel; das Konzept der

\to

einfachen Gruppe.
Der Name des Genies ist mir natürlich wieder entfallen;

1958

schlug die Entdeckung wie eine Bombe ein:

" Die einzigen einfachen Gruppen von ungerader Ordnung sind die Gruppen von Primzahlordnung. "

Ich hoffe du weißt, dass die

\to

zyklisch sind ( warum? )

Also der Typ beweist erst: Diese Gruppen sind in der Tat KOMMUTATIV; und daraus folgt dann trivial der Rest.
Es gibt ein russisches Standardwerk über Gruppentheorie aus dem Jahre

1940;

natürlich ist mir wieder der Verfasser entfallen

. .

. Es umfasst kaum

100 S,

viel Prosa ( so wie bei mir ) und nur ganz wenig Formelkram.
Ich wünsche dir, dass du alles beherrschst, was der erzählt

. .

.

Der führt die Gruppenaxiomatik folgender Maßen ein ( ohne im mindesten rot zu werden )

" Es gibt ein Neutrales

e

\exists e \forall x | e x = x e = x (2 a)

"

" Existenz der Inversen

\forall a \exists b = b (a) = : a^{- 1} | a^{- 1} a = a a^{- 1} = e (2 b)

D . h

. hier wird geschmuddelt ohne Ende. Oben sagten wir: Eine Gruppe ist

i . A

. nicht kommutativ. Vor dem zweiten Weltkrieg fehlte JEGLICHES BEWUSSTSREIN, dass es in einer nicht kommutativen Struktur eines Beweises bedarf, warum

1) e

mit allen Elementen vertauscht und

2) a

mit

a^{- 1}

vertauscht.

Unser Assistent

" Linksneutral

+

rechtsinvers gibt

i . A

. KEINE Gruppe. "

Auch die heutige Literatur befriedigt mich letzten Endes nicht; schon als Student leitete ich die Gruppenaxiome von einer Baumstruktur ab.
Mir liegt vor das Skript von Reiffen_Scheja; dort heißt es

" Das vornehmste Ziel der Gruppentheorie ist es, eine Gruppe so kommuitativ wie möglich zu machen; dieser Ansatz motiviert uns zur Einführung der

\to

Kommutarorgruppe. "

Eine ( wie ich meine ) esoterische Verstiegenheit, die meines Wissens heute nicht mehr zum Curriculum gehört.

( Mein Daddy pflegte zu sagen )

" Wissenschaftler snd Menschen, die komplizierten Irrtümern mit Begeisterung anhängen. "

(s . u

. )

Aktion Wilhelm Busch; " Warum in die Ferne schweifen

. .

. "

Weil auf dem Konkurrenzportal Mathelounge durfte ich etwas lernen.

" Ich soll beweisen, dass die Matrizen

A B

und

B A

ähnlich sind. "

Ein Moderator fand denn auch die Antwort.

Aber wie es so zu gehen pflegt; der Student starrt auf diese Matrizen wie das Kaninchen auf die Schlange; mein Beitrag rührt ihn kein bisserl

. .

.
( Was ich zu sagen habe, ist ja nicht Teil seiner Aufgabe. )

Wir Physiker haben gelernt, aus genialen Theoremen nahe liegende Schlussfolgerungen zu ziehen - ich verallgemeinerte die Situation von den Matrizen auf eine beliebige Gruppe.
Noch ein wort in eigener Sache; für das " auswärtsene " Wort " Äquivalenzrelation " schlage ich die Eindeutschung " Gleichheitsbeziehung " ( GB ) vor.
Eine solche GB ist die

\to

Konjugation, Formelzeichen

\approx

. Zwei Elemente

x

und

y

heißen konjugiert, wenn sie auseinander durch einen

\to

inneren Automorphismus hervor gehen.

x \approx y \Leftrightarrow \exists a y = a x a^{- 1} (3 a)

(3 a)

ist übrigens äquivalent zu der Aussage

x \approx y \Leftrightarrow \exists a a x = y a (3 b)

(3 b)

sieht nicht nur zufällig aus wie eine verallgemeinerte Kommutativität. Ich behaupte

\forall u \forall v u v \approx v u (4 a)

Zwar ist eine Gruppe

i . A

. nicht kommutativ; aber unter Konjugation ist jede Gruppentafel symmetrisch. Stets gehören

x y

und

y x

der selben Klasse an.
Reiffen-Scheja, der inneren Automorphismen ein ausführliches Kapitel einräumt weiß

(1970)

von

(4 a)

schlicht - nichts.
Obwohl er doch auf alles abfährt, was eine Gruppe kommutativer gestaltet

. .

.

Der Beweis von

(4 a)

ist trivial; setze in

(3 b)

x := u v; y := v u; a := u^{- 1} (4 b)

Weißt du jetzt, warum man auf das Kommutativgesetz verzichtet?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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