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Warum beschreibt die Gleichung keine Ebene

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Ebenengleichung

Lemaa aktiv_icon

18:35 Uhr, 02.03.2010

Hallo
Ich schreibe morgen eine Mathearbeit über Parameterdarstellung etc. und hab soweit eigentlich alles gut verstanden.
Aber eine Aufgabe war: Warum beschreibt folgende Gleichung keine Ebene?

x = (\begin{matrix} 4 \\ - 3.2 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 6 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3.6 \\ 0.6 \\ - 6 \end{matrix})

Also ich weiß, dass es keine Ebene beschreibt, weil man mit dieser Gleichung theoretisch jeden Punkt im Raum erreichen könnte. Aber woran sehe ich das genau an der Gleichung und wie kann ich das dann in der Arbeit aufschreiben?
Was ist

z . B

. der Unterschied zu:

x = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix})

Beschreibt die untere Gleichung eine Gerade, weil bei den Richtungsvektoren

x 3

gleich ist?

Ich hab nochmal was an der unteren Gleichung verändert, hatte mich verguckt...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

ahmedhos aktiv_icon

18:38 Uhr, 02.03.2010

lineare abhaengigkeit.
"Ist a ein vielfaches von b?"

z . B

. sind die Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

linear abhaengig, da es ein

μ

existiert, sodass

μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

μ = 2

Bei deinem Beispiel gilt dasselbe:

(\begin{matrix} 6 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} - 3,6 \\ 0,6 \\ - 6 \end{matrix})

6 = λ \cdot - 3,6 \Leftrightarrow λ = - \frac{10}{6}

- 1 = λ \cdot 0,6 \Leftrightarrow λ = - \frac{10}{6}

10 = λ \cdot - 6 \Leftrightarrow λ = - \frac{10}{6}

d . h

(\begin{matrix} 6 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 3,6 \\ 0,6 \\ - 6 \end{matrix})

sind linear abhaengig, kollinear oder einfach gesagt parallel

. .

.

Fuer eine Ebene brauchst du linear unabhaengige Vektoren "nicht parallele Vektoren"
http//members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/vektoren3.htm
richtig mathematisch formuliert man es ueber ein Gleichungssystem. Dazu kannst hier schauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit#Beispiel_1:_einzelner_Vektor

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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