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Warum gibt es genau n n-te Wurzeln? Komplexe Zahle

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, n-te Wurzel

UchihaMadara aktiv_icon

19:03 Uhr, 06.09.2023

Hi!

Ich verstehe, wie man

z . B

. n-te Wurzeln aus

a \in ℂ

zieht.

Auch wie man von der Kartesischen Form, dann zu:

z_{k} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot (\frac{φ}{n} + 2 \cdot π \cdot \frac{k}{n})}

kommt, mit der man dann ja alle n-ten Wurzeln berechnen kann.

Da die komplexen Wurzeln sich auf einem Einheitskreis befinden, bilden sie ein gleichmäßiges n-Eck ab.

Warum sind es aber genau

n

n-te Wurzeln?

(z . B

z^{8},

erhalten

z_{0}, .

z_{7},

k = 0,1, . .

, n - 1)

VG.

Zusatz: Wo ist der Zusammenhang zu: "welches markante Polynom die Linearfaktorzerlegung

(z - z_{0}) \cdot . .

\cdot (z - z_{n - 1}

hat.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel

Roman-22

21:30 Uhr, 06.09.2023

>

Warum sind es aber genau

n

n-te Wurzeln?

Es geht um die Lösungen

z_{i}

der Gleichung

z^{n} = a

mit

n \in ℕ

und

a \in ℂ

?

Übergang in die Exponentialdarstellung von a

z^{n} = | a | \cdot e^{i \cdot (a r g (a) + k \cdot 2 π)} = r \cdot e^{i \cdot (φ + k \cdot 2 π)}

mit

k \in ℤ

bereits an dieser Stelle kommt also das

k

ins Spiel, denn natürlich dürfen wir zum Argument (Winkel

φ)

beliebige ganzzahlige Vielfache von

2 π

addieren - es bleibt die gleiche komplexe Zahl

a,

nur deren Darstellung ändert sich damit.

Wenn man nun beidseits

{(...)}^{\frac{1}{n}}

rechnet, dann ergibt sich

z = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot (\frac{φ}{n} + k \cdot \frac{2 π}{n})}

und das noch immer mit

k \in ℤ

.

Allerdings erkennt man, dass nur

n

aufeinander folgende Werte von

k

auch unterschiedliche Werte für

z

ergeben. Für

k_{1}

und

k_{2} = k_{1} + n

ergeben die gleiche komplexe Zahl, nur einmal dargestellt mit dem Argument

\frac{φ}{n} + k_{1} \cdot \frac{2 π}{n}

und das andere Mal mit dem Argument

\frac{φ}{n} + k_{2} \cdot \frac{2 π}{n} = \frac{φ}{n} + (k_{1} + n) \cdot \frac{2 π}{n} = \frac{φ}{n} + k_{1} \cdot \frac{2 π}{n} + 2 π

.

Daher können sich nur

n

unterschiedliche Zahlen ergeben, am einfachsten für

n

direkt aufeinander folgende ganze Zahlen für

k,

k = 0; 1; 2; ...; n - 1

Für

k = n

würde sich dann wieder die gleiche komplex Zahl

z

ergeben wie für

k = 0

.
Man könnte aber gern auch

k = - 17; - 16; ... - 18 + n

verwenden und käme auf die gleichen komplexen Zahlen.

UchihaMadara aktiv_icon

09:26 Uhr, 07.09.2023

Super, vielen Dank!!

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