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Warum hat jede Primzahl mind. eine Primitivwurzel?

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Modulare Arithmetik, Primitivwurzel, Primzahl, Zahlentheorie

 
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ParaCouchy

ParaCouchy aktiv_icon

17:28 Uhr, 26.05.2020

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Hallo :-))
Kennt hier vll jmd einen Beweis/Erklärung für die Tatsache, dass es für jede Primzahl mindestens eine Primitivwurzel gibt, der weniger Vorkenntnisse aus diesem Feld voraussetzt, als das worauf man stößt wenn man danach googelt ?
Also vll im besten Fall herunter gebrochen und erklärbar gemacht für jmd der die Basics der Basics vom Rechnen mit Modulo kennt, aber nicht sehr viel mehr
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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HAL9000

HAL9000

18:40 Uhr, 26.05.2020

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Ist nicht mit wenigen Worten zu erklären - vor allem, je weniger man voraussetzen darf, umso länger und weitschweifiger muss die Erklärung werden. Am Ende bekommt man jedenfalls noch weit mehr Informationen, nämlich dass es für jeden positiven Teiler t von p-1 genau φ(t) Restklassen modulo p gibt mit Ordnung t, das gilt dann speziell auch für die Elemente mit Ordnung p-1 (= primitive Wurzeln), davon gibt es dann also genau φ(p-1).

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ermanus

ermanus aktiv_icon

19:50 Uhr, 26.05.2020

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Hallo,
sei ψ(t) die Anzahl der Elemente, die die multiplikative
Ordnung t haben.
Wichtig ist nun, dass ψ(p-1)>0 ist.
Dies ergibt sich aus der Gleichung ψ(t)=φ(t)>0.
Das ist aber keineswegs trivial, wie man z.B. daran sieht,
dass um 1770/80 herum dies zwar immer wieder für plausibel gehalten wurde,
u.a. von Euler, aber wohl erst Gauss in seinen Disquisitiones Arithmeticae
(ca. 1800), Artikel 53-56, zwei Beweise geliefert hat.

Gruß ermanus
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