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Warum ist 4 oder 8 nicht Primelement in Z

Universität / Fachhochschule

22:38 Uhr, 22.02.2012

Liebe Kollegen!

Mein Problem: Laut Definition ist ein Primelement aus einem Ring per Definition ein Element a aus

R

mit den Eigenschaften, dass a keine Einheit und nicht das Nullelement ist. Außerdem gilt: Für alle

x, y

aus

R

mit a|xy folgt

a | x

oder

a | y

. So viel zur Definition.

Nun gut. Sei

R = Z

(Raum der ganzen Zahlen).
Die Einheitengruppe

E (Z)

von

Z

ist

E (Z) = {- 1,1}

. Aus der Menge darf mein Kandidat für ein Primelement nicht sein.
Ich wähle

a = 4, x = 3, y = 12

Nun gilt:

4 | 3.12

und

4 | 12

. Also ist 4 ein Primelement!
Aber 4 ist ja keine Primzahl, somit kein Primelenent in Z.

Wo liegt der Denkfehler? Das macht mich ganz verrückt :-).

anonymous

22:54 Uhr, 22.02.2012

Wenn ich das richtig sehe heißt es in der Definition doch, dass die Bedingung für "alle"

x, y

aus

R

gelten muss.
Es reicht also schon ein Wertepaar

(x, y),

für dass die Bedingung nicht gilt, damit a kein Primelement ist.
So gilt zwar beispielsweise

4 | 2 \cdot 6,

aber weder

4 | 2

noch

4 | 6

. Somit existiert zumindest ein Paar, für dass die Bedingung nicht gilt und 4 ist daher kein Primelement von

R = Z

22:57 Uhr, 22.02.2012

Großartig! Natürlich, das ist es.
Vielen Dank und lieben Gruß!

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