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Warum ist Z/nZ nicht leer
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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Hallo Community... beim Beweis, dass (Z/nZ,+,.) ein kommutativer Ring ist wird bei uns im Lösungsvorschlag nicht gezeigt, dass Z/nZ nicht leer ist (...Z/nZ sei hier der sogenannte Restklassenring). Wir fangen sofort mit dem Nachweis an, dass + in Z/nZ assoziativ ist. Warum muss hier nicht gezeigt werden, dass Z/nZ nicht leer ist? (Bei jeder anderen Gruppe gehört das meines Wissens nach zu den Gruppenaxiomen mit dazu...) Gruss und Danke im Vorraus Jan |
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Hi Bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber können überhaupt Faktorgruppen leer sein? Eine Gruppe enthält ja mind. das neutrale Element. Man muss ja ohnehin nichtleere Mengen voraussetzen, um Partitionen zu erhalten. Von daher würde ein Nachweis rein aus Gründen der Definition sinnlos erscheinen. Hoffe, bringe nichts durcheinander, mein Algebra liegt schon etwas zurück. lg |
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Hi, danke für Deine Antwort. Allerdings kommen wir so nicht richtig weiter, denn mit <quote>Eine Gruppe enthält ja mind. das neutrale Element</quote> unterstellt man ja von Vornherein, dass es sich bei (Z/nZ, +) um eine Gruppe handelt. Dann ergäbe sich natürlich wie Du richtig gesagt hast, dass Z/nZ nicht leer ist (da das neutrale Element der Addition dann in Z/nZ läge). Aber gerade darum geht es ja im ersten Teilschritt: man muss zeigen, dass (Z/nZ, +) eine Gruppe ist (also unter anderem, dass Z/nZ eine nichtleere Menge ist, dann, dass (Z/nZ, .)eine Halbgruppe mit neutralem Element ist usw. Ich glaube jedoch, selber bereits zu wissen, warum man nicht zeigen muss dass Z/nZ nicht leer ist: man kann einfach ein beliebiges Element angeben.Z.B mit n=1 gilt für k=1: 1 E Z/1Z. Allerdings frage ich mich, ob man dann nicht über vollständige I. dies für alle n noch beweisen muss? Was meinst Du? Gruss Jan |
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Hi Jan Hab mir schon gedacht, dass dieser Einwand kommt - hätts gleich deutlicher schreiben sollen, sry. Mit "enthält mind. ein Element" bezog ich mich auf Z und nicht auf Z/nZ. Eine Partition enthält dann garantiert jenes Element aus der zu faktorisierenden Gruppe. Das müsste sich aus der Definition ergeben. lg |
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| Nach Definition ist 0 \in [0] \in Z/nZ für alle n. |
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Jo, und die Faktorisierung über 0 ist eine neue Menge, die nichtleer ist. Und wenn die zu faktorisierende Gruppe ein Element enthält, dann gibt es auch Nebenklassen, die nichtleer sind. Die Menge dieser gesamten Nebenklassen ist also demzufolge dann auch nichtleer. So hab ich das verstanden. lg |
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Hallo nochmal, <quote>Nach Definition ist 0 \in [0] \in Z/nZ für alle n.</quote> Das ist es! Sehr gut ... danke euch beiden. Gruss Jan Ps.: seit ihr regelmässig hier? (welches Sem.? ) |
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Hi nochmal Hab das irgendwie etwas allgemeiner erklären wollen und Jimmy hats mit einer Zeile wohl aufm Punkt gebracht. Supi. Hoffe, es ist wenigstens nicht falsch, was ich mir zusammengedacht habe - aber mindestens verwirrend, oder? ^^ Naja Hauptsache du hast jetzt die Antwort bekommen. Bin 2. Semester Wirtschaftsmathe, also noch in den Anfängen ;) Wie ich Bock hab, schau ich vorbei, um paar verwirrende Antworten zu posten^^ lg |
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> Ps.: seit ihr regelmässig hier? > (welches Sem.? ) Nö, bin das erste Mal hier. Hatte gerade nix zu tun. Prom. in Mathe. |
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Hallo mwmfg nochmal... Nein nein, das war alles super. Ich dank Dir nochmal. Wirtschaftsmathe ja? Auch interessant. Ich mache allgemeine M. auch 2. Semester (Master) als Fernstudium in Hagen, nebenbei noch Wirtschaftsingenieurswesen. Bis bald Gruss Jan |
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Danke auch an Dich. Gruss Jan |
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