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Warum ist bei der Stammfunktionen der y-Wert egal

Schüler

Tags: Funktion, Integralrechnung, Mathematik

 
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BinDummsorry

BinDummsorry aktiv_icon

11:09 Uhr, 11.08.2019

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Hallo,
ich habe grade über die Stammfunktion nachgedacht. Die Stammfunktionen einer Funktion f(x) hat gleichzeitig die Funktion f(x) als Ableitung. Bei Ableitungen ist der y-Wert bzw. Schnittpunkt mit der y-Achse (ich meine die Konstante, bei Stammfunktionen) nicht egal. Wie kann es sein, dass sie bei Stammfunktionen egal ist, obwohl diese ja auch Ableitungen sind?
MfG,
BinDummsorry

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ledum

ledum aktiv_icon

13:11 Uhr, 11.08.2019

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Hallo
alle Funktionen F(x)+c haben die Ableitung F'(x) wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist gilt dann F'(x)=f(x)
Anschaulich wenn du den Graphen einer Funktion nach oben oder unten schiebst bleiben die Ableitungen (Steigungen) gleich, wenn du also nur die kennst, weisst du nicht wo der Graph liegt.
Stammfunktionen sind doch keine Ableitungen, deshalb verstehe ich deinen letzten Satz nicht.
Gruß ledum
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Hausmann

Hausmann

20:09 Uhr, 11.08.2019

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Gewissermaßen wie beim Vergleich verschiedener Straßen bei der Tor der France f(x), die zwar gleiches Höhenprofil / Anstiege f(x) haben, aber in verschiedenen Höhen verlaufen.
BinDummsorry

BinDummsorry aktiv_icon

20:12 Uhr, 11.08.2019

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Hey, ledum.
Ich dachte, dass der Funktionswert der Ableitung von einem x-Wert die Steigung der Funktion an diesem x-Wert ist. Deshalb sollte es nicht egal sein, ob der Graph der Stammfunktion auf der x-Achse verschoben wird (bsp. hat DorFuchs in seinem Lied "Die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus" so gezeigt, dass der Kosinus die Ableitung vom Sinus ist). Außerdem hab ich das auch so in Lehrvideos erfahren.

P.S.: Mit dem letzten Satz meinte ich das, was du auch angesprochen hast. Ich habe die f(x),F(x) und die Stammfunktion der Stammfunktion*. Somit ist F(x) gleichzeitig die Stammfunktion von f(x) und die Ableitung der zweiten Stammfunktion.
*Gibt es eine Notierung für Stammfunktionen von Stammfunktionen wie bei den Ableitungen von Funktionen und Ableitungen der Strich?
MfG,
BinDummsorry
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11engleich

11engleich

21:15 Uhr, 11.08.2019

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Darf ich versuchen, in meinen Worten zu ergänzen und zu erläutern...
Wir ahnen, du meinst die Stammfunktion
F(x)=g(x)+C
(wobei hier g(x) einfach irgend ein von 'x' abhängiger Teil sei, und C die (Integrations-) Konstante, ggf. der y-Achsenabschnitt).
Und es sei
f(x)=F'(x)=g'(x)
die Ableitungs-Funktion.

Und jetzt scheinst du dir Gedanken um die Konstante "C" zu machen.
Du sagst:
"Wie kann es sein, dass sie bei Stammfunktionen egal ist...?"
Egal wofür?

Es gibt doch tausend Fälle, in denen die Integrationskonstante 'egal' sein wird, und sicherlich tausende Fälle, in denen die Integrationskonstante sehr wesentlich und alles andere als 'egal' sein wird.

a)
Ein Beispiel, in dem die Konstante 'egal' ist:
Wenn du den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion f(x) im Intervall zwischen
a<x<e
bestimmen willst, dann bestimmst du doch die Stammfunktion F(x) und setzt die Ober- und Untergrenze ein.
Also formal:
A=aef(x)dx=[F(x)+C]|ae=F(e)+C-F(a)-C=F(e)-F(a)
Und siehe da, die Fläche ist also tatsächlich unabhängig von C.
Du kannst dir also wild und umständlich Gedanken um "C" machen. Der Flächeninhalt is unabhängig von 'C'.

b)
Ein Beispiel, in dem die Konstante wesentlich und alles andere als 'egal' ist:
Bei der Lösung von Differenzialgleichungen wirst du die Freiheit der Wahl eines Freiheitsgrades sehr zu schätzen lernen.
Beispielsweise die barometrische Höhenmessung:
Kurz gesagt, du wirst stets zur Differenzialgleichung
dp/dh =-gpR
gelangen.
Das gilt in den Tiefen des Jordantals, auf dem Indischen Ozean, im Schwarzwald, in den Höhen der Chilenischen Anden und auf dem Himalaya.
Überall gilt die gleiche Gesetzmäßigkeit, auch wenn du über die freie Wahl der Integrationskonstante anpassen können wirst und wollen wirst, dass doch überall andere Luftdrücke zu erwarten sind.

Wie gut, dass es die Integrationskonstante gibt, und dass sie alles andere als 'egal' ist.

Antwort
Hausmann

Hausmann

23:32 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Die oben fehlerhaft angegebene barometrische Höhenformel
(bei konstanter Zusammensetzung und Temperatur der Luft)
dpdh=-ϱg=-ϱ0p0gp
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

09:22 Uhr, 13.08.2019

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@BinDummsorry

Viele falsche (deutlicher gesagt: sinnentstellende) Zungenschläge in deinen Argumenten:

> Stammfunktionen [...] obwohl diese ja auch Ableitungen sind?

Gerade umgekehrt, die Ausgangsfunktionen sind Ableitungen ihrer Stammfunktionen. Und "Verschiebungen" um eine Konstante verschwinden beim ableiten, da die Ableitung einer Konstante ja gleich Null ist.

> Deshalb sollte es nicht egal sein, ob der Graph der Stammfunktion auf der x-Achse verschoben wird

Durch das Hinzuaddieren einer Konstanten wird der Graph NICHT auf der x-Achse verschoben, sondern in Richtung der y-Achse. Die Steigung des Graphen an einer bestimmten x-Stelle wird durch diese Verschiebeoperation nicht geändert (siehe ersten Punkt oben).