Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Warum ist das Produkt zweier Vektoren ein Skalar?

Warum ist das Produkt zweier Vektoren ein Skalar?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Sonstiges

nice87day aktiv_icon

16:27 Uhr, 01.10.2010

Hallo,

wenn ich zwei Vektoren addiere oder subtrahiere erhalten ich wieder einen Vektor.

Warum funktioniert das nicht bei einem Produkt aus zwei Vektoren?...wäre doch eigentlich logisch wenn es bei der Addition und
Subtraktion so ist!!!

gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathetest

16:41 Uhr, 01.10.2010

Musst zwischen Skalarprodukt und Vektorprodukt unterscheiden.

Beim Skalarprodukt gibts eine Zahl als Ergebnis (Produkt ihrer Längen mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels)

Beim Vektorprodukt gibt es wieder einen Vektor,
- der gleichzeitig im rechten Winkel auf der durch die beiden Ausgangsvektoren aufgespannten Ebene steht,
- und dessen Länge, der Fläche des durch die Ausgangsvektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht

nice87day aktiv_icon

17:24 Uhr, 01.10.2010

soweit kenne ich das ja auch .....aber warum gibt es für die addition von zwei vektoren keine zwei Definitionen....

...die geometrische Herleitung vom Skalarprodukt ist mir klar und verständlich

V \cdot W = v 1 \cdot v 2 + w 1 \cdot w 2

v 1 \cdot v 2 + w 1 \cdot w 2 = 0

kriege ich wenn ich

{| | v + w | |}^{2} = {| | v | |}^{2} + {| | w | |}^{2}

ausmultipliziere

und jetzt sagt man das ist dann

V \cdot W

.

mir kommt es so vor als hätte das einer gesehen und gesagt:

" ach wie schön

v 1 \cdot v 2 + w 1 \cdot w 2

sieht genau so aus als würde ich die jeweiligen Komponenten von den vektoren

V

und

W

miteinander multiplizieren und dann addieren"....."das ist für mich jetzt die Multiplikation von zwei vektoren .."

hagman aktiv_icon

17:33 Uhr, 01.10.2010

Knifflig.
Was ist denn überhaupt ein Produkt (vor allem im Unterschied zu einer Addition)?
Wenn ich vierdimensionale Vektoren betrachte, kann ich beispielsweise durchaus ohne Probleme

(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}) \cdot (a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}) := (a_{1} a_{2} + b_{1} c_{2}, a_{1} b_{2} + b_{1} d_{2}, c_{1} a_{2} + d_{1} c_{2}, c_{1} b_{2} + d_{1} d_{2})

definieren.
Diese Verknüpfung erfüllt alles, was man sich von einem Produkt wünschen kann:
Sie ist, wie man nachrechnen kann, assoziativ:

(u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)

distributiv über die Addition:

(u + v) \cdot w = u \cdot w + v \cdot w, u \cdot (v + w) u \cdot v + u \cdot w

Es gibt sogar ein neutrales Element, nämlich

(1,0,0,1)

und zahlreiche Vektoren haben ein multiplikativ Inverses, nämlich genau die

(a, b, c, d)

mit

a d \neq b c

nice87day aktiv_icon

18:11 Uhr, 01.10.2010

...weiß jetzt nicht ob die frage an mich gerichtet war oder generell an alle aber hier ist meine antwort:

für mich ist ein produkt in prinzip eine Summe aus identischen Elementen

... . .

.

gruß :-)

hagman aktiv_icon

20:31 Uhr, 01.10.2010

So geht das vielleicht, wenn mindestens einer der Faktoren eine natürliche Zahl ist, aber bereits

(- 1,5) \cdot 1,2

kann man wohl schwer als Summe aus minus anderthalb gleichen Summanden zu je

1,2

auffassen.
Sieh es vielleicht besser so: Im Endeffekt ist das Skalarprodukt "irgendeine" Abbildung, die zwei Vektoren einen Skalar zuordnet und heisst nur "zufällig" Skalar

- p r o d u k t

.
Deshalb schreiben eineige Autoren beispielsweise auch lieber

〈 v, w 〉

statt

v \cdot w

nice87day aktiv_icon

22:35 Uhr, 01.10.2010

...also ist die multiplikation, die ich aus der schule kenne garnicht für vektoren definiert?....

gruß

hagman aktiv_icon

09:16 Uhr, 02.10.2010

Eine "echte" Multiplikation für Vektoren gibt es

i . A

. nicht, von Ausnahmen abgesehen:
Bei einem eindimensionalen (reellen) Vektorraum kann man den Vektorraum mit

ℝ

selbst identifizieren und kann deshalb umgekehrt die Multiplikation reeller Zahlen (ein wenig künstlich) auf den Vektorraum übertragen.
Im zweidimensionalen Fall kann man den Vektorraum ebenso mit dem Körper

ℂ

der komplexen Zahlen identifizieren.
Im dreidimensionalen Fall gibt es das oben angesprochene Kreuzprodukt. Zusammen mit der normalen Vektorraddition hat man dan eine algebraische Struktur, die sich Ring nennt (was im Pribnzip bedeutet, dass für Addition und Multiplikation im Wesentlichen die "normalen" Regeln gelten), aber auf Kommutativität muss man bereits verzichten; auch gibt es kein Eins-Element und keine Division als Umkehrung

(d . h

\vec{a} \times \vec{x} = \vec{b}

ist nicht immer lösbar).
So etwas (sog. Divisionsalgebra) gibt es dann tatsächlich wieder in vier Dimensionen (aber die Multiplikation ist wieder nicht kommutativ, sog. Quaternionen) und in noch schwächerer Form (nicht einmal das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt!) in acht Dimensionen.

799316

799173

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?