Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Warum ist die Kreislinie eine Nullmenge?

Warum ist die Kreislinie eine Nullmenge?

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Ebene, Kreislinie, Maßtheorie, Nullmenge

Mittwoch aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.02.2012

Mich würde interessieren, wie man zeigt, dass eine Kreislinie in der Ebene Lebesgue-Maß 0 hat. Anschaulich ist ja alles sehr klar. Ich weiß auch, dass ich etwa versuchen muss, die Kreislinie durch endliche viele kleine Quadrate zu überdecken, deren Gesamtfläche beliebig klein gemacht werden kann. Praktisch tue ich mir damit aber schwer. Wie genau setze ich die Quadrate? - deren Anzahl hängt ja von

ɛ

ab (wenn die Quadrate Seitenlänge

ɛ

haben und damit fällt es schwer zu zeigen, dass die Gesamtfläche klein wird, wenn

ɛ

klein wird. Gibt es nicht vielleicht ein ganz einfaches Argument (über Stetigkeit oder so) mit dem ich mir die ganze Fuzelei sparen kann?

Danke im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Bummerang

19:26 Uhr, 25.02.2012

Hallo,

teile den Kreis in

n

gleichlange Abschnitte (die haben dann die Länge

\frac{1}{n} \cdot 2 \cdot π \cdot r)

. Jeder Abschnitt hat einen Anfangspunkt und einen Endpunkt. Der Endpunkt eines Abschnittes ist somit gleichzeitig der Anfangspunkt des nächsten usw. usf. Die beiden Punkte eines Abschnitts bilden die Diagonale des Quadrates. Die Länge dieser Diagonale ist, weil es eine Gerade ist, kürzer als

\frac{1}{n} \cdot 2 \cdot π \cdot r

. Die Seitenlänge des Quadrates ist demzufolge kleiner als

\frac{1}{n} \cdot 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{n} \cdot π \cdot r \cdot \sqrt{2}

. Die Fläche aller Quadrate ist demzufolge kleiner als:

n \cdot {(\frac{1}{n} \cdot π \cdot r \cdot \sqrt{2})}^{2} = n \cdot \frac{1}{n^{2}} \cdot π^{2} \cdot r^{2} \cdot 2 = \frac{2}{n} \cdot π^{2} \cdot r^{2}

Geht

n

gegen unendlich, dann geht dieser Term gegen Null und damit die kleinere überdeckte Fläche auch.

Mittwoch aktiv_icon

23:53 Uhr, 25.02.2012

Okay, hatte nur an eine achsenparallele Überdeckung mit Quadraten gedacht. Jetzt muss ich mir also nur noch überlegen, dass ein nicht achsenparalleles Rechteck mit Seitenlänge

ɛ

auch Maß

ɛ^{2}

hat. Das ist auch so eine triviale Sache, wo ich mir nie sicher bin, wann ich "sauber genug" argumentiert habe (natürlich ist ein "Maß" wo dem nicht so ist Schrott).

Bummerang

09:50 Uhr, 26.02.2012

Hallo,

"Okay, hatte nur an eine achsenparallele Überdeckung mit Quadraten gedacht."

Aber auch nicht konsequent genug, denn wenn man von meiner Kreisteilung in

n

Abschnitte eine Richtung

(z . B

. mathematisch positive Richtung) festlegt, dann haben alle diese Abschnitte einen definierten Anfangspunkt und einen definierten Endpunkt. Wenn man dann vom Anfangspunkt aus ein achsenparalleles Quadrat so festlegt, dass der Endpunkt auf dem Rand des Quadrates liegt, dann hat man ein Quadrat, dessen Kantenlänge kleiner oder gleich

\frac{1}{n} \cdot 2 \cdot π \cdot r

ist. Damit ist die überdeckte Fläche kleiner oder gleich:

n \cdot (\frac{1}{n} \cdot 2 \cdot π \cdot r) = \frac{4}{n} \cdot π^{2} \cdot r^{2}

Das ist zwar das doppelte, aber auch eine Nullfolge!

Mittwoch aktiv_icon

19:32 Uhr, 26.02.2012

Okay kapiert - danke!

977018

976573

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?