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Warum ist die leere Menge offen bzw. abgeschlossen

Universität / Fachhochschule

Tags: abgeschlossen, Leere Menge, mengen, Offen

Sonusfaber aktiv_icon

16:34 Uhr, 15.02.2020

Kann mir jemand erklären, warum die leere Menge im Vektorraum

ℝ^{n}

offen bzw. abgeschlossen ist? Ich habe mich im Web nach einer zufriedenstellenden Antwort umgeschaut - leider vergeblich.

Laut Definition ist eine Menge G genau dann offen, wenn sie ausschliesslich aus inneren Punkten besteht bzw. wenn zu jedem Punkt

\vec{a}

\in

G eine Umgebung

K_{r} (\vec{a})

von

\vec{a}

existiert, die vollkommen in G enthalten ist.

Man könnte zwar vom Komplement ausgehen bzw. behaupten: Dass die Teilmenge

ℝ^{n}

abgeschlossen ist, bedingt (laut Definition), dass ihr Komplement - also die leere Menge - offen ist.

Ich möchte aber von diesem Weg abgesehen ...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:51 Uhr, 15.02.2020

Hallo,

> Laut Definition ist eine Menge G genau dann offen, wenn sie ausschliesslich aus inneren Punkten besteht

Wie viele NICHT INNERE Punkte hat so eine leere Menge denn?

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

18:08 Uhr, 15.02.2020

Ich versuche, deine Frage ausführlich zu beantworten.

Eine leere Menge hat keine Randpunkte, weil sie ja keine Elemente enthält. Und da sie keine Randpunkte hat bzw. keinen Rand, kann man sagen behaupten, dass sie offen ist.
Sie hat aber auch (da eben leer) keine inneren Punkte, so dass sie abgeschlossen sein muss.

Kann man also so argumentieren?

Mir leuchtet dies aber nicht wirklich ein, um ganz ehrlich zu sein ... :-)

michaL aktiv_icon

18:15 Uhr, 15.02.2020

Hallo,

ja, das fällt manchen schwer.

Dürfte ich deiner Meinung nach nicht behaupten
"Alle Elefanten in meiner Tasche sind rosa.",
da Elefanten nicht in Taschen passen?

So ist das eben nun einmal. All-Aussagen treffen auf die leere Menge zu, da es keine Elemente gibt, also auch keine, für das Gegenteil der All-Aussage gilt.
Ich finde das logisch.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.02.2020

Womöglich lassen meine logischen Fähigkeiten zu wünschen übrig.

Die Aussage: "Alle Elefanten in meiner Westentasche sind rosa" finde ich tatsächlich nicht wahr, jedenfalls nicht ganz. Denn in meiner Westentasche sind keine rosa Elefanten enthalten. So dass es irreführend ist zu behaupten, sie seien rosa. Wahr wäre eher die Aussage: In meiner Westentasche hat es keine Elefanten, daher auch keine rosa.

Weiteres Beispiel:

Obwohl mein Portfeuille leer ist seit Jahren, teile ich einem Kollegen Folgendes mit: "Alle Aktien in meinem Portfeuille haben 2019 an Wert gewonnen". Ist die Aussage wahr, weil mein Portfeuille leer ist? Meiner Ansicht nach nicht, denn mein Freund würde annehmen, dass ich Aktien im Portfeuille haben, obwohl dem nicht so ist.

michaL aktiv_icon

18:33 Uhr, 15.02.2020

Hallo,

ich finde die Aussage logisch korrekt.

Aber: Jedem das seine. Vielleicht kommst du mit deinem Verständnis von Logik ja weiter als ich mit meinem?!

Mfg Michael

PS: Im Prinzip setzt du damit tertium non datur außer kraft.
Denn: Das logische Gegenteil zu "

\forall x : A (x)

" ist "

\exists x : \neg A (x)

"

Beispiel:

x

: in meiner Tasche befindliche Elefanten,

A (x)

x

ist rosa.

Du behauptest also, dass die Aussage "Alle in meiner Tasche befindlichen Elefanten sind rosa." falsch ist.
Demnach muss sich in meiner Tasche ein Elefant befinden, der nicht rosa ist. Insbesondere muss isch in meiner Tasche ein Elefant befinden.
Ich kann dir versichern, dass ich so große Taschen nicht habe.

Dann wären aber beide Aussagen falsch, im Widerspruch zu tertium non datur.

Jetzt du wieder!

Sonusfaber aktiv_icon

18:36 Uhr, 15.02.2020

Das habe ich echt nicht gemeint. Ich bin überzeugt, dass deine logischen Fähigkeiten besser sind als meine. Ich wollte dir nur aufzeigen, wie ich "ticke" - damit komme ich bestimmt nicht weiter als du, im Gegenteil ...

Aber vielen Dank! :-)

Sonusfaber aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.02.2020

Vielleicht habe ich eher eine(n) juristische(n) oder ethische(n) Logik bzw. Wahrheitssinn, du eher einen mathematischen ...

michaL aktiv_icon

18:40 Uhr, 15.02.2020

Hallo,

ich habe mein posting ergänzt (s.o.).

Das war angesichts deiner zügigen Antworten vielleicht nicht sinnvoll.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

18:56 Uhr, 15.02.2020

Zweifelsohne falsch wäre die Aussage: "In meiner Tasche dösen vier Elefanten vor sich hin". Sie wäre falsch, weil meine Tasche leer ist. Richtig?

Die Aussage: "Alle Elefanten in meiner Tasche sind rosa" wäre zweifelsohne falsch, wenn es in meiner Tasche mindestens einen Elefanten gäbe, dessen Farbe nicht rosa ist. Richtig?

Da es aber keinen Elefanten gibt in meiner Tasche, ist die Aussage, dass sie rosa sind, nicht falsch. Die Aussage geht aber von einer falschen Annahme aus - nämlich: Dass meine Tasche Elefanten beherbergt. Richtig?

Vielleicht verwechsle ich die Annahme mit dem Inhalt der Aussage ...

Sonusfaber aktiv_icon

19:05 Uhr, 15.02.2020

Ich möchte nochmals fragen, um besser verstehen zu können:

Welche der folgenden Aussagen ist richtig bzw. falsch:

1: "In meiner Tasche dösen vier Elefanten vor sich hin"
2: "Die vier Elefanten in meiner Tasche dösen vor sich hin"

Ich würde sagen, dass die erste Behauptung falsch ist und die zweite richtig bzw. nicht falsch ...

michaL aktiv_icon

19:23 Uhr, 15.02.2020

Hallo,

beide Aussagen wären falsch.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

20:00 Uhr, 15.02.2020

Beide wären falsch? Wie bitte?

Sonusfaber aktiv_icon

20:09 Uhr, 15.02.2020

Beide wären falsch? Wie bitte?

Dies würde heissen im Fall von "Alle Elefanten in meiner Tasche:
1. sind rosa"
2. dösen vor sich hin",
dass der Satz 1 falsch, der Satz 2 wahr ist!
Ich würde gerne den Grund dafür erfahren, sofern es einen gibt.

ermanus aktiv_icon

10:17 Uhr, 16.02.2020

Hallo,
entschuldigt bitte, dass ich mich hier auch ergänzend einklinke.
Die Elefentenproblematik war ein stark diskutiertes Thema innerhalb der
analytischen Sprachphilosophie (Frege, Russell e.a.). Hier ein Link zu
dem Verständnis von Sätzen über Michaels rosa Elefanten:
de.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%A4supposition

Nun aber nochmal zurück zu der offenen leeren Menge:
Nach der Definition der Offenheit einer Menge, ist

\emptyset

genau dann offen, wenn gilt:

\forall a \in \emptyset \exists r > 0 (K_{r} (a) \subseteq \emptyset)

Um die Gültigkeit dieser Aussage zu überprüfen sollte man sich vor Augen führen,
dass dies eine Abkürzung (!) für die folgende Aussage ist:

\forall a (a \in \emptyset \Rightarrow \exists r > 0 (K_{r} (a) \subseteq \emptyset))

.

Ist nun

P (a)

die Aussage "

a \in \emptyset

"
und

Q (a)

die Aussage "

\exists r > 0 (K_{r} (a) \subseteq \emptyset)

",
dann hat unsere All-Aussage die Gestalt:

\forall a (P (a) \Rightarrow Q (a))

.

Die Wahrheitstafel von "

\Rightarrow

" zeigt, dass
"

P (a) \Rightarrow Q (a)

" äquivalent zu "

\neg P (a) \lor Q (a)

" ist.
Für alle

a

ist

a \in \emptyset

, also

P (a)

falsch, somit

\neg P (a)

wahr
und damit auch

\neg P (a) \lor Q (a)

wahr.

Gruß ermanus

Sonusfaber aktiv_icon

11:11 Uhr, 16.02.2020

Danke.

Ich habe selber nochmals versucht, die Aussage zu beweisen, und zwar folgendermassen.

Vorbemerkung: Jede Allaussage über Elemente der leeren Menge wie etwa "Für alle Elemente der Teilmenge ∅ gilt, dass …" ist wahr, denn es gibt kein Element, für das die fragliche Forderung falsch sein könnte (*).

Wegen (*) ist die Aussage "zu jedem Punkt

\vec{a} \in \emptyset

existiert eine Umgebung

K_{r} (\vec{a}) \subset \emptyset

" wahr, daher ist die leere Menge laut Definition offen.

Da sie offen ist, muss ihr Komplement

ℝ^{n}

abgeschlossen sein.

Andererseits: Laut Definition heisst ein Punkt

\vec{a} \in ℝ^{n}

genau dann Randpunkt einer Teilmenge

G \subset ℝ^{n}

, wenn für alle r

\in ℝ^{+}

gilt:

K_{r} (\vec{a})

∩ G ≠ ∅ und

K_{r} (\vec{a}) \cap (ℝ^{n} \ G) \neq \emptyset

.

Sei nun G =

ℝ^{n}

Dann ist:

K_{r} (\vec{a}) \cap (ℝ^{n} \ G) = K_{r} (\vec{a}) \cap \emptyset = \emptyset

⟹ die Teilmenge G =

ℝ^{n}

hat keine Randpunkte, daher besteht sie nur aus inneren Punkte, so dass sie laut Definition offen sein muss. Und da sie offen ist, muss ihr Komplement ∅ abgeschlossen sein.

Und nun möchte ich nochmals zu den Elefanten zurückkehren.

Die Allaussage "Alle Elefanten in meiner Westentasche sind rosa" ist wegen (*) wahr. Die Existenzeaussage "Es gibt in meiner Tasche vier rosa Elefanten" ist hingegen falsch: Ich würde gerne wissen, warum Michael sie für wahr hält ...

ermanus aktiv_icon

11:37 Uhr, 16.02.2020

Die Offenheit von

ℝ^{n}

bekommst du doch "geschenkt";
denn es ist

K_{r} (a) \subseteq ℝ^{n}

für beliebige

a \in ℝ^{n}

und beliebige

r > 0

. Wo sonst sollen die offenen Kugeln liegen ?

michaL aktiv_icon

11:50 Uhr, 16.02.2020

Hallo,

> Die Existenzeaussage "Es gibt in meiner Tasche vier rosa Elefanten" ist hingegen falsch: Ich würde gerne
> wissen, warum Michael sie für wahr hält ...

Weil im Himmel Jahrmarkt ist. (ex falso quodlibet)

Ich möchte gern wissen, wo ich diese Aussage getroffen habe soll, die du mir in den Mund legst.

Übrigens: Hast du dich damit auseinander gesetzt, dass deine (!)
> juristische(n) oder ethische(n) Logik
gegen das tertium non datur verstößt, wenn du die beiden (logisch konträren) Aussagen
* Alle Elefanten in meiner Tasche sind rosa.
* Es existiert ein Elefant in meiner Tasche, der nicht rosa ist.
beide für falsch hältst?

Ich hatte dich darauf aufmerksam gemacht. Ich nahm an, dass dies die Diskussion beenden würde.
Sollte das nicht der Fall sein (und du dich damit abseits der mathematischen Logik bewegen wollen), dann bin ich raus. Ich kann nur diese Logik.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

12:08 Uhr, 16.02.2020

Hallo Michael

Ich muss mich verschrieben haben, es tut mir leid. Ich will dir nichts in den Mund legen, was du nicht gesagt hast, und schon gar nicht ärgern.

Ich hatte dich gefragt, welche von diesen zwei Aussagen wahr und welche falsch ist:

1. "In meiner Tasche dösen vier Elefanten vor sich hin"
2. "Die vier Elefanten in meiner Tasche dösen vor sich hin"

Du hast geantwortet, dass beide falsch sind.

Ich würde gerne wissen, warum dem so ist.

Die erste Aussage ist nach meinem Verständnis eine Existenzaussage (man könnte sagen: es gibt in meiner Tasche vier Elefanten, die vor sich hin dösen"). Da es überhaupt keine Elefanten gibt in meiner Tasche, ist die Aussage falsch.

Die zweite Aussage ist eine Allaussage: "Die vier (oder auch: "alle") Elefanten in meiner Tasche dösen vor sich hin". Da es keine gibt, die nicht vor sich hin dösen, muss sie wahr sein (wie deine ursprüngliche Aussage: "Alle Elefanten in meiner Tasche sind rosa").

Du wirst schon recht haben damit, dass beide Aussagen falsch sind, ich würde aber gerne wissen, warum ... :-)

Sonusfaber aktiv_icon

12:09 Uhr, 16.02.2020

Ermanus, du hast Recht, die Offenheit des R^n ist offensichtlich ...

michaL aktiv_icon

15:02 Uhr, 16.02.2020

Hallo,

jetzt wird es schwierig.
Zumindest einigen wir uns, dass sich die menschliche Sprache nicht unbedingt gut eignet, um deren Wahrheitsgehalt festzustellen.

> 2. "Die vier Elefanten in meiner Tasche dösen vor sich hin"

Liest sich für mich wie folgt:
2a) Es sind 4 Elefanten in meiner Tasche.
2b) Und die dösen alle.

Würdest du schreiben:
Alle Elefanten in meiner Tasche dösen.
Dann wäre ich geneigt zuzugeben, dass der Satz wahr ist.

Trotzdem: Setze dich auseinander mit dem Gegenteil. Daran erkennst du warum die leere Menge beides sein muss: offen und abgeschlossen.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.02.2020

Vielen Dank! :-)

Sonusfaber aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.02.2020

Und eine gute Woche ...

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