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Warum ist diese Aufgabe eine Variation ohne Wdh
Universität / Fachhochschule
Tags: Kombinatorik, Variation ohne Wiederholung
 
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Diese Aufgabe soll von Grundschulkindern gerechnet werden können. Zum Abschied geben sich die Mädchen der Ballettgruppe ein Küsschen auf die Wange. Wie oft wird geküsst? Ich habe die Lösung stehen: Das wäre nach der Formel: Der Aufgabentyp ist eine Variation ohne Wiederholung, weil kein Mädchen sich selbst küsst und der Kuss und als einer gezählt wird. So ganz sicher bin ich mir aber nicht. Für mich ist eine typische Variation ohne Wiederholung: 3 er Türme bauen und man hat 3 Farben zur Verfügung und diese dürfen sich nicht wiederholen. Könnte man dieses Beispiel analog auf diese Aufgabe mit den Küssen übertragen? Was wären da meine Türme und was meine Farben? Zudem habe ich versucht mich auf die Grundschulebene einzulassen: Ich bin folgendermaßen vorgegangen: Wie oft kann A (wenn sie die erste ist) küssen? Wie oft kann danach noch küssen, wenn sie von A schon geküsst wurde? (9) Allerdings komme ich dann auch auf eine ganz andere Zahl. Mein Ergebnis ist viel kleiner? Hättet ihr einen guten Tipp für Grundschulkinder? Das wäre wirklich wichtig und ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen |
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Hallo, > Warum ist diese Aufgabe eine Variation ohne Wdh Nun, wie du unten selbst schreibst, küsst keines der Mädchen ein spezielles weiteres mehr als einmal. Deshalb hat man bei keinem der Küsse ein deja vu (pardon, Akzente sind mir hier nicht so eben möglich). Mathematischer ausgedrückt handelt es sich bei den Küssen um zweielementige Teilmengen der Menge der Ballettmädchen. Speziell ist nach der Anzahl dieser zweielementigen Teilmengen gefragt. Insbesondere ist deine Formel falsch, ich komme nur auf 55 Küsse. Der Ansatz > Wie oft kann A (wenn sie die erste ist) küssen? (10) > Wie oft kann B, danach noch küssen, wenn sie von A schon geküsst wurde? (9) führt dann auf die korrekte Zahl Anzahl der Küsse. Ich denke, hier liegt auch der Ansatz für egal welche Art von Schüler. Schließlich ist das ja der Anekdote nach von einem sehr bekannten Grundschüler schon mit einer entsprechenden Formel beantwortet worden. Wenn man didaktisch über das reine Rechnen hinausgehen will, muss man wohl die Anzahl der Mädchen der Ballettgruppe erhöhen, bis auch der Denkfaulste lieber einen kürzeren Weg mit Selberdenken sucht. Gauß' Formel wird gern durch Verdoppeln visualisiert, und das ist auch gut in der Grundschule machbar. Was, wenn wir die Geschichte soweit variieren, dass die Küsse so ablaufen: A küsst B (vielleicht auf die Wange, um die Asymmetrie zu verdeutlichen) und im Anschluss daran küsst B dann A. Damit ergibt sich relativ schnell, dass jedes Mädchen gleich viele andere Mädchen küsst (jeweils alle außer sich selbst). Daraus ergibt sich schnell die Anzahl der Küsse, wie du sie oben angegeben hast: 110. Unterschied zwischen den beiden Spielarten: Faktor 2. Daraus kann man schön für die Gaußsche Summe über Rechtecke visualisieren. Mfg Michael |
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vgl: www.mathelounge.de/275/leute-untereinander-jeder-jedem-jeweils-einmal-anstosst-klingt |
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Ich würde das nicht so kompliziert sehen. Mädchen A küsst Mädchen B und Mädchen B gibt Küsschen zurück (zähl meiner Meinung nach doppelt, ist ja an die Wange). Somit Küsst jedes der elf Mädchen alle 10 Mädchen (außer sich selbst). Also 10*11. Dein Ansatz geht davon aus, dass der Kus nur in eine Richtung geht, du solltest also die Hälfte, also 110/2=55 rauskriegen (summe von 1 bis 10 = 10*11/2). Kommt also drauf an, ob die Küsschen zwischen A und B als ein oder als zwei gezählt werden. |
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Hallo, du sagst sehr richtig "... und der Kuss A→B und B→A als einer gezählt wird.". Es handelt sich also um eine Kombination, nicht(!) um eine Variation. Meine VorrednerInnen haben es bereits alles dargestellt :-) Gruß ermanus |
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Ok. Vielen Dank. Welche Kombination wäre es denn? Mit oder ohne Wiederholung und könnte mir jemand erklären, warum es eine Kombination ist und keine Variation? |
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Bei einer Variation kommt es auf die Reihenfolge an, bei einer Kombination nicht. Bei einer 2-Variation werden also Paare gezählt, bei einer 2-Kombination die 2-elementigen Mengen . Sprtka hat z.B. beide Interpretationsmöglichkeiten besprochen. |
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Ok. Dann wäre es aber eine Kombination ohne Wiederholung? |
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Ok. Dann wäre es aber eine Kombination ohne Wiederholung? |
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Jawoll! |
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Ich habe noch eine Rückfrage. Wenn allerdings und zwei verschiedene Küsse wären, dann wäre es doch keine Kombination ohne Wiederholung, sondern eine Variation? Und dann wäre auch ok? |
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Ja. So ist es :-) |
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