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Warum nicht auch mal Unendlich...?

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Definition, Elementare Zahlentheorie, Imaginäre Zahlen, unendlich

JulesVerne aktiv_icon

08:09 Uhr, 05.09.2012

Kurze einleitung:

ich habe versucht zu einer funktion zu jedem punkt eine funktion 1. grades zu finden welche um genau 90° gedreht ist.

also wenn ich mich nicht irre sollte das der fall sein wenn ich -1/steigung als steigung der neuen funktion annehme.

bsp.

f(x)=2x => g(x)=-1/2x

jetzt wird auch schnell das problem klar bei steigung 0 würde ich durch 0 teilen was ja nicht so richtig definiert ist, warum eigentlich nicht ?

zeichnerich ist es kein problem die entsprechende funktion ein zu zeichenen, warum also nicht auch mathematisch beschreiben ?

also 1/0 = unendlich = u (einfach als definition wie man es auch bei sqrt(-1)=i gemacht hat)

dann würde es z.b. auch 2 unendlich usw. geben 2/0=2*1/0=2u

warum wird 1/0 bzw. unendlich nicht ebenso behandelt wie wurzel(-1) ???

Edddi aktiv_icon

08:38 Uhr, 05.09.2012

. .

\frac{1}{0} = u \Rightarrow 1 = 0 \cdot u

\frac{2}{0} = 2 \cdot u \Rightarrow 2 = 0 \cdot 2 u

Nun gilt das Assoziativgesetz

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

Somit wäre

2 = 0 \cdot (2 \cdot u) = (0 \cdot 2) \cdot u = 0 \cdot u = 1

;-)

JulesVerne aktiv_icon

09:02 Uhr, 05.09.2012

das gesetz ist natürlich in der unendlich komplexen zahlenebene nicht gültig :-D)

das es probleme gibt ist mir auch schon aufgefallen z.b. bei wurzel und quadrat usw., dennoch würde ich mit der betrachtung teilweise voran kommen

Edddi aktiv_icon

09:54 Uhr, 05.09.2012

...wenn du deine Funktion um 90° drehen willst, so nimmst du den negativen Kehrwert der Steigung. Dies ist erstmal in etwa korrekt, aber nureine Regel für den Fall linearer Funktionen.

Bei

y = 4 \cdot x^{2}

kannst du es aber nicht anwenden:

y = - \frac{1}{4} \cdot x^{2}

Das mit dem negativen Kehrwert ergibt sich aus folgender Transformation, die allgemeingültiger ist:

Y-Achse wird zu X-Achse:

y \Rightarrow x

-X-Achse wird zu Y-Achse:

- x \Rightarrow y

und somit

x \Rightarrow - y

Nun setze mal diese Transfomationsgleichung in eine lineare Funktion ein:

y = m \cdot x \Rightarrow x = m \cdot (- y) \Rightarrow y = - \frac{1}{m} \cdot x

(Juchuuu, passt...)

Ja sogar deine Funktion

y = 0

funzt:

y = 0 \Rightarrow x = 0

(Super!!!)

So auch

y = 1 :

y = 1 \Rightarrow x = 1

Nun geht auch die quadr. Fkt:

y = 4 \cdot x^{2} \Rightarrow x = 4 \cdot {(- y)}^{2} \Rightarrow - y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{x}{4}}

;-)

JulesVerne aktiv_icon

10:03 Uhr, 05.09.2012

danke für den tipp, hört sich gut an

aber ich wollte ja nicht eine bestimmte funktion drehen, sondern jeweils die tangente in einem punkt um 90grad drehen, deswegen hatte ich mir erstmal immer nur die steigung angesehen sprich die 1. ableitung und mehr nicht.

aber evtl. komme ich mit deinem ansatz auch weiter, danke

Edddi aktiv_icon

10:08 Uhr, 05.09.2012

...jau, dann dreh' die Tangente im (Berührungs-)punkt eben mittels Transformations-Vorschrift.

;-)

JulesVerne aktiv_icon

10:20 Uhr, 05.09.2012

Hatte von den transformations sachen leider bis heute noch nichts von gehört, die wesentlichen sachen verschweigt man wohl in der schule :-D)

y=mx+b=>x=m(-y)+b=>-(x-b)/m

falls ich mich nicht vertan habe auf die schnele, ist ja neuland für mich

hatte es vorher anders gelöst

z.b.

f(x)=e^x

g(x)=mx+b

m=-1/f'(x)=-e^-x

-1/f'(x)*x+b=f(x) (für ein bestimmtes x)

=>b=f(x)+(1/f'(x)*x)

hoffe ich hab mich cniht vertippt

Edddi aktiv_icon

10:48 Uhr, 05.09.2012

Die von mir angegebene Transformation dreht nur im Ursprung!

Willst du an einem beliebigen Punkt drehen, benötigst du eine Rotationsmatrix!

So transformiert sich dann

x_{n}

in Abh. von

x

und

y

. Bei

y_{n}

ist es analog.

Für deinen Fall solltest du dan die Lösungen grafisch ermitteln oder mittels Limes-Rechnung annähern.

;-)

JulesVerne aktiv_icon

10:55 Uhr, 05.09.2012

warum denn so kompliziert, die steigung bekomme ich mit der ableitung, kein problem

als nächstes nur noch b so variiren bis die funktion durch den entsprechenden punkt verläuft auch kein problem

ich suche ja nciht eine funktion die für alle punkte pass, sondern nur eine grade die durch ein punkt geht und für genau diesen meine forderung erfüllt

Edddi aktiv_icon

11:04 Uhr, 05.09.2012

...gar keine Frage, die Normalensteigung über

- \frac{1}{f' (x_{s})}

ist der schnellste und einfachste Weg.

Ich dachte Anfang nur, dass es dir eher um Rotation von Kurven ging:

"...ich habe versucht zu einer funktion zu jedem punkt eine funktion 1. grades zu finden welche um genau 90° gedreht ist..."

Na dann weiterhin viel Spaß...

;-)

Sina86

11:26 Uhr, 05.09.2012

Hallo,

zu der Frage, warum

\frac{1}{0}

nicht behandelt wird wie

\sqrt{- 1}

:
Wie du schon richtig erkannt hast, ist die Division durch Null schlichtweg nicht definiert (da steckt kein mystisches Geheimnis hinter und es ist auch keine ungelöste Frage, es ist einfach so). Man kann diese Definitionslücke schließen, wenn man eine Division durch Null definiert. Das muss dann aber eine sinnvolle Definition sein und ist -wie von Eddi gezeigt- dann häufig mit Problemen behaftet. Ein Beispiel wäre vielleicht die abgeschlossene komplexe Zahlenebene, die reellen Zahlen bieten sich da nicht an, weil es sich bei

ℝ

um einen angeordneten Körper handelt und man hier zwischen

+ \infty

und

- \infty

unterscheiden muss. Zu diesem Thema gibt es sicherlich auch zahlreiche Threads hier im Archiv.

Bei

\sqrt{- 1}

liegt die Sache etwas anders, es gibt einen Satz über die Existenz und Eindeutigkeit der

n

-ten Wurzel, der lautet in etwa so: Zu jeder Zahl

y \geq 0

gibt es genau eine Zahl

x \geq 0

, so dass

x^{n} = y

ist. Ist nun

y

negativ, so kommt man schnell zu dem Ergebnis, dass es keine positive Zahl

x

geben kann, so dass

x^{2} = y

ist. Daher kommt man schnell zu der Antwort: Für negative Zahlen gibt es keine Lösung der Gleichung

x^{2} = y

.

Aber man merkt schnell, dass der Satz nur die halbe Wahrheit sagt. Denn wenn z.B.

y = 4

ist, dann ist die (Quadrat-)Wurzel aus

y

definiert als

x = 2

. Jedoch löst auch die Zahl

x = - 2

die Gleichung

x^{2} = 4

. Man könnte also genauso gut

- 2

die Quadratwurzel von

4

nennen.

Und jetzt ist es ein kurzer gedanklicher Schritt, wenn man sich fragt, was wäre, wenn ich eine Lösung der Gleichung

x^{2} = - 1

hätte? Dies könnte keine reelle Zahl sein, da

x^{2} \geq 0

für jedes

x \in ℝ

ist. Und dies ist der Punkt, an dem man imaginäre Zahlen definiert, und wie bereits oben erwähnt, muss diese Definition sinnvoll in den Kontext der Zahlentheorie passen (d.h. man darf nicht auf Widersprüche stoßen etc.). Und wie man dann schnell festgestellt hat, passen sich die imaginäre Zahlen ganz natürlich in die Mengen aller Zahlen ein, d.h. sie produzieren keine Widersprüche, man kann mit ihnen rechnen wie mit "normalen" Zahlen und darüber hinaus kann man Probleme sinnvoll lösen, zu denen es vorher keine Lösung gab.

Gruß
Sina

JulesVerne aktiv_icon

11:42 Uhr, 05.09.2012

danke für die tipps, ich denke alle meine fragen wurden hinreichend beantwortet :-D)

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