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Was ist "Definitheit von Matrizen"
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Vektorräume
Tags: Matrizenrechnung
 
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Hallo, wollte gerne wissen, ob man sich irgendwie die Definitheit/Indefinitheit von Matrizen anschaulich verstaendlich machen kann. Und wozu man das denn braucht?? danke |
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Die Definitheit von matrizen ist wie folgt definiert. Sei A eine Matrix und ein Spaltenvektor ist dann entsprechend ein Zeilenvektor) Dann induziert die Matrix A wie folgt eine Abbildung Das Ergebnis wird immer eine Zahl sein. Wenn die Zahl für jeden Vektor positiv ist, so bezeichnet man die Matrix als positiv definit, wenn die zahl immer positiv aber auch null sein kann, so nennt man sie positiv semidefinit, wenn die Zahl immer negativ ist, so nennt man sie negativ definit, wenn sie aber zusätzlich auch 0 werden kann, so nennt man sie negativ semidefinit, falls die Abbildung für bestimmte vektoren positiv aaber für andere Vektoren auch negativ sein kann, so nennt man die matrix indefinit. Als ein Anwendungsbeispiel, fällt mir sponta die Bestimmung von Maxima und Minima beliebiger Dimension ein. Aus der Schule kennt man ja noch sowas wie, dass wenn an einer extremstelle die zweite ableitung negativ wird, liegt ein maximum vor, wenn sie positiv wird ein Minimum. Dies lässt sich auf n-Dimensionen verallgemeinern. Wenn die sogenannte Hessematrix positiv definit ist, so liegt ein minimum vor, wenn die Hessematrix negativ definit ist, so liegt ein maximum vor. Bei Indefinitheit liegt ein Sattelpunkt vor. Die Hessematrix ist dabei dann eine matrix, welche alle zweiten partiellen ableitungen an der extremstelle enthält. Wie sich die Hessematrix dann aus den verschiedenen zweiten Ableitungen zusammensetzt, kannst du ja googlen. |
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