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'Was ist ein Basisisomorphismus?
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Abbildung, basis, Basisomorphismus, Bild, Kern, Linear Abbildung, matriz
 
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Hi, ich sitze gerade an linearer Algebra (für Physiker) und versuche den Basisisomorphismus zu verstehen. Insbesondere die Abbildung und die Formeln, welche ich mit hochgeladen habe, wollen sich mir einfach nicht erklären. Mir fehlt irgendwie der Einstieg, was es mit dem Basisisomorphismus auf sich hat. Meine Ideen waren bisher, dass der Basisisomorphismus "einfach" die Abbildungsmatrix bezüglich ausgewählter Basen beschreibt, so dass diese Matrix multipliziert mit der Standartbasis des Urbildraums (e1,...,en) die Basisvektoren des Bildraumes ergibt. Diese Idee habe ich dann aber wieder verworfen (oder?). Wo ist der Unterschied, wenn ich von nach über abbilde und wenn ich von nach über abbilde? Ich dachte und bzw. und währen identisch? Ich denke, wenn ich diesen Unterschied verstehe, ist es einfacher den Basisisomorphismus zu verstehen, da dieser ja scheinbar die Abbildung von nach beschreibt. Dabei würde mir eine einfache, bildliche Beschreibung auch erst einmal ausreichen :-D) Jedem der mir weiterhilft, bin ich sehr dankbar! Viele Grüße Heisenberg16    Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ich habe ein wenig suchen müssen, da mir der Begriff Basisisomorphismus nicht bekannt war. Ich konnte mir etwas darunter vorstellen, wollte aber sichergehen. Ich habe dazu einen Link der Uni Wien unten angefügt, indem das kurz erklärt zu werden scheint. Ich selbst nenne das Phänomen für mich Koordinatisierung. Nicht immer sind Koordinaten in einem Vektorraum von vorneherein gegeben. Ein Beispiel sei etwa der -Vektorraum der reellen Polynome höchstens 2. Grades mit gemeiner Addition und der Multiplikation mit konstanten Polynomen als Skalarmultiplikation. Welche Koordinaten hat der? Eine mögliche Einführung von Koordinaten in diesem Vektorraum sei diejenige, dass man das Polynom mit dem Vektor identifiziert. Damit ist gemeint, dass die Abbildung ein Vektorraumisomorphismus ist. Nennt man die Basis von einfach , so ist diese Abbildung in deinem Diagramm etwa als zu verstehen. Wozu dienen solche Koordinatisierungen? Nun, du hast vielleicht schon für Matrizen Antworten auf Fragen wie * Ist die Matrix diagonalisierbar? * Welche Eigenwerte hat die Matrix? etc. gefunden. Aber wie ist es bei einer Abbildung etwa im obigen Beispiel von nach , etwa den Ableitungsoperator? Linear ist er ja, d.h. die (formale) Ableitung eines Polynoms höchstens 2. Grades (nach Regeln der Analysis) ist wieder ein Polynom höchstens zweiten Grades, für welche die Summen- und die Faktorregel gilt. Was ist mit dieser Abbildung? Welche Eigenwerte hat sie? Ist sie diagonalisierbar? Oder existiert wenigstens die Jordansche Normalform? Und um diese Fragen auf schon beantwortete Fragen zurückzuführen, koordinatisiert man den Vektorraum , sodass die Ableitung als Matrix dargestellt werden kann. Dann befindet man sich auf bekanntem Terrain und kann bekannte Methodik darauf loslassen. Ist die Sache damit klar(er) geworden? Mfg Michael Links: [1] homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Lehre/Lineare_Algebra_fuer_PhysikerInnen/ws2017/Lineare_Algebra_fuer_PhysikerInnen_Ergaenzungsskriptum.pdf |
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Guten Morgen, vielen Dank erst einmal für die ausführliche Antwort. Ich denke ich werde noch etwas Zeit brauchen, um mich da reinzudenken. Ich werde mir das PDF der Uni Wien auch nochmal genauer angucken. Bei Fragen melde ich mich wieder. Grüße Heisenberg16 |
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