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Was ist ein Potential?
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis, mehrdimensionale Funktionen
 
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Hallo zusammen, wir haben letztens im Zusammenhang mit Kurven und Kurvenintegralen den Begriff des Potentials besprochen. Hierbei hatten wir ein Vektorfeld (von R²->R²) gegeben und eine Kurve als PaD. Ich habe mir aufgeschrieben, dass das Potential die Stammfunktion des Vektorfeldes ist. Aber wie kann man sich den Begriff des Potentials veranschaulichen? Habe im Internet schon so Begriffe Steigung oder Beschreibung des Vektorfeldes gelesen, konnte dies aber noch nicht in einen vernünftigen Zusammenhang bringen. Ich hoffe ihr könnt mir helfen :-) Liebe Grüße eXeLenT Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn sich ein Vektrofeld als Gradientenfeld darstellen lässt, nennt man Potential. Das kannst Du als skalare Funktion verstehen, die Dir das Rechnen erleichtert. Im Falle eines existierenden Potentials ist das zugehörige Vektorfeld konservativ und Kurvenintegrale müssen nicht explizit berechnet werden. Sie sind völlig unabhängig vom Weg und hängen nur von Anfangs- und Endpunkt ab. Ein Beispiel ist das Gravitationspotentiel in dem wir uns hier auf der Erde befinden. |
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Erstmal vielen Dank für diese gute Antwort! :-) Habe dazu noch ein paar kleine Rückfragen: Kann man (auch wenn es vielleicht nicht mathematisch korrekt ist) sagen, dass das Potential sowas ähnliches wie die Stammfunktion des Vektorfeldes ist? Was versteht man genau unter einem Gradientenfeld, also was kann ich mir darunter vorstellen? Ist ein Vektorfeld nur im Falle eines existierenden Potentials konservativ oder gibt es auch andere Möglichkeiten? |
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Also wenn man unbedingt möchte, kann man das Potential mit einer Stammfunktion vergleichen. Ich würde Dir dennoch ratenm es einfach Potential zu nennen. Schau mal bei wiki, da ist erklärt was ein Gradientenfeld ist. "Ist ein Vektorfeld nur im Falle eines existierenden Potentials konservativ oder gibt es auch andere Möglichkeiten? " Wenn ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist, dann ist es auch automatisch konservativ. |
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Hallo! Zur optischen Veranschaulichung ist . das Gravitationspotential einer großen masse gut: en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_potential Stell dir einfach vor, du spannst zwischen einen Holzrahmen ein Leinentuch, und legst eine schwere Bleikugel hinein. So kannst du dir dann im Endeffekt das Gravitationspotential vorstellen. Mathematisch inkorrekt gesprochen: Auch hier gibt die "Ableitung" des Gravitationspotentials so etwas wie die "Steigung" an. Das Gradientenfeld gibt dir also an, wie stark die Gravitationskraft ist, und in welche Richtung sie dich zieht. Ich hoffe, das hat dir geholfen! :-) Lg, INTEGRALCHEN |
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Vielen Dank euch beiden für die schnellen Antworten! Ich kriege leider die Begriffe Vektorfeld, Skalarfeld, Gradientenfeld und Potential immer noch nicht in einen vernünftigen Zusammenhang. Aber ich glaube mit Hilfe des Gravitationspotentials habe ich gute Chancen, dass zu verstehen. Also ich habe verstanden, dass das Gravitationspotential angibt, wie stark die Gravitationskraft an bestimmten Stellen ist und in welche Richtung sie mich ziehen würde. Aber wo ist denn bei dem Beispiel das Vektorfeld, auf dem das Potential beruht? Ich habe gerade auch geguckt, was ein Gradientenfeld ist, dabei ist der Begriff Skalarfeld aufgetaucht, mit dem ich ebenfalls nicht so richtig was anfangen kann. ('Ein Gradientenfeld ist ein aus einem Skalarfeld durch Differentiation nach dem Ort abgeleitetes Vektorfeld bzw. – kürzer formuliert – der Gradient eines Skalarfelds.') Liebe Grüße eXeLenT |
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Kann mir keiner helfen? |
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Das Gravitationspotential gibt (multipliziert mit der Probenmasse m) die potentielle Energie der Masse m in Abhängigkeit des Ortes an. Mit Einer Richtung hat das aber nichts zu tun, dazu musst Du den Gradienten des Potentials bilden - der gibt die Kraft, also auch die Richtung der Bewegung an. Die Kraft ist in dem Fall das Vektorfeld, die durch Gradientenbildung aus dem Gravitationspotential resultiert. Ein Skalarfeld ist eine Abbildung mit: Im Falle des reellen Raumes z.B.: |
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Alles klar, danke für die Hilfe! :-) |
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