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Was ist ein Spaltenvektor?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung, Matrix, Vektor, Vektorraum

KIchef aktiv_icon

17:56 Uhr, 12.03.2023

Ich beschäftige mich gerade mit den Basics der Linearen Algebra und mir ist ehrlich gesagt gerade unklar, was genau mit Spalten-bzw. Zeilenvektor gemeint ist...

Sagen wir ich habe die lineare Abbildung

T (V, W),

wobei

V

und

W

jeweils Vektorräume über den Körper

K

sind. Dann ist die dazugehörige Matrix

M

zu den jeweilgen Basen

B_{v}

und

B_{w} : M (T, B_{v}, B_{w})

meines Wissens nach so definiert, dass die i-te Spalte die Koeffizienten von

T (B_{v_{i}})

bzgl.

B_{w}

angibt.

Somit gilt:

T (B_{v_{i}}) = M_{i_{1}} \cdot B_{w_{1}} + M_{i_{2}} \cdot B_{w_{2}} + . .

+ M_{i_{m}} \cdot B_{w_{m}}

wobei

W

m-dimensional ist.

Die Elemente der Matrix sind also logischerweise Elemente des Körpers K.

Wenn man nun vom Spaltenvektor von

M

spricht, meint man dann wirklich die Spalte der Matrix, also ein Element von

K^{m}

? Also weder ein Vektor aus

V,

noch aus

W

? Falls ja: Heißt das, dass für jeden Körper

K

gilt, dass

K^{n}

ein Vektorraum über

K

ist?

Oder meint man damit dann

T (B_{v_{i}})

? Das würde allerdings für noch mehr Verwirrung bei mir sorgen...

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Punov aktiv_icon

16:23 Uhr, 13.03.2023

Hallo, KIchef!

(1) Sei

V

ein

K

-Vektorraum der Dimension

n

mit Basis

A

und sei

W

ein

K

-Vektorraum der Dimension

m

mit Basis

B

, dann kann eine lineare Abbildung

T : V \to W

mittels der Abbildungsmatrix

M (T, A, B) \in K^{m \times n}

ausgedrückt werden, wobei die Spalten der Matrix die Koeffizienten der Bilder der Basisvektoren in

A

bzgl.

B

sind. Du hast also Recht, daß mit "Spaltenvektor" jeweils ein Vektor in

K^{m}

gemeint ist. Zu jedem Bild eines Basisvektor aus

A

gehört ein Spaltenvektor in

K^{m}

.

(Um zu verdeutlichen, daß

M (T, A, B) \in K^{m \times n}

, kann man auch die Koordinatenabbildungen bzgl.

V

und

W

betrachten: Sei

k_{A} : V \to K^{n}

die Koordinatenabbildung bzgl.

V

und

A

; analog sei

k_{B} : W \to K^{m}

die Koordinatenabbildung bzgl.

W

und

B

.
Betrachte dann

S : K^{n} \to K^{m}

gegeben durch

S = k_{B} \circ T \circ k_{A}^{- 1}

, dann ist

M (T, A, B)

gegeben durch die zu

S

gehörige Matrix, d.h. die

i

-te Spalte von

M (T, A, B)

enthält das Bild

S (e_{i})

des

i

-ten Standardbasisvektors unter

S

.)

(2) Zu der zweiten Frage: Wenn

K

ein Körper ist, ist

K

insbesondere ein

K

-Vektorraum. Definiert man auf

K^{n} = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) : x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in K}

mit

n \in ℕ

eine komponentenweise Addition und eine komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar aus

K

, dann ist

K^{n}

ein

K

-Vektorraum.

---

Ein Beispiel:

Sei

V = ℝ^{3}

mit Standardbasi

V

und

W = ℝ^{2}

mit Basis

{(2, 1)^{⊤}, (1, 1)^{⊤}}

. Weiter sei

f : ℝ^{3} \to ℝ^{2}

gegeben durch

(x, y, z)^{⊤} \mapsto (2 x - 3 y, x - 2 y + z)^{⊤}

. Dann gilt:

(1, 0, 0)^{⊤} \mapsto (2, 1)^{⊤} = 1 \cdot (2, 1)^{⊤} + 0 \cdot (1, 1)^{⊤}

(0, 1, 0)^{⊤} \mapsto (- 3, - 2)^{⊤} = - 1 \cdot (2, 1)^{⊤} - 1 \cdot (1, 1)^{⊤}

(0, 0, 1)^{⊤} \mapsto (0, 1)^{⊤} = - 1 \cdot (2, 1)^{⊤} + 2 \cdot (1, 1)^{⊤}

.

Damit ist

M (f, V, W) = (\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 2 \end{array})

.

Die Spaltenvektoren, die du meinst, sind hier also

(1, 0)^{⊤}, (- 1, - 1)^{⊤}, (- 1, 2)^{⊤} \in ℝ^{2}

.

Viele Grüße

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