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Was kommt in die Trans-Matrix der Jordanform

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Jordan Normalform, Jordansche Normalform, Linear Abbildung, Lineare Algebra, MATH, Mathematik, Matrix

 
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xam193

xam193 aktiv_icon

18:55 Uhr, 04.08.2021

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Hallo!

Hier in etwa der Algorithmus:

Sei K ein Körper und AKn×n eine Matrix. Um diese nun auf Jordan Normalform JA zu bringen berechne ich zunächst die Eigenwerte, indem ich das Charakteristische Polynom χA(λ)=det(A-λEn) berechne und die Nullstellen bestimme. Dann habe ich schonmal die Eigenwerte und ihre jeweilige algebraische Vielfachheit.

Die Eigenwerte kommen dann am Ende auf die Diagonale der Matrix JA.

Nun sind die geometrischen Vielfachheiten μgeo(λi) zu bestimmen.

μgeo(λi)=dimker(A-λiEn).

Stimmen nun die jeweiligen algebraischen Vielfachheiten mit den dazugehörigen geometrischen Vielfachheiten überein, so ist A schon diagonalisierbar und JA=Diag(λ1,...,λn).
Dann ist JA=S-1AS, wobei in S gerade die Eigenvektoren stehen. Das müssten dann ja auch genügend sein um die Matrix S zu einer nxxn-Matrix zu machen.

Ist A nun aber nicht diagonalisierbar, so betrachtet man die geometrischen Vielfachheiten und ergänzt passend Einsen auf der oberen oder unteren Nebendiagonale von JA.

Da aber die Algebraische Vielfachheit immer größer oder gleich der geometrischen ist, fehlen uns hier nun Eigenvektoren für die Matrix S.

Deswegen meine Frage: Die Matrix ist nicht n×n, da wir nicht genug Eigenvektoren haben. Womit fülle ich die Matrix S auf?

Danke und LG



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

08:13 Uhr, 05.08.2021

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Hallo,

eine gute Übersicht über die Vorgehensweisen (nicht unbedingt der Zusammenhänge) findet sich bei www.speicherleck.de/iblech/stuff/tutor-la-ii-quast/jordan.pdf mit einer Beispielrechnung.

In der Vorlesung wurde sicher ein Beweis gegeben zur jordanschen Normalform. Der beschreibt die Vorgehensweise auch. Dort finden sich auch Hinweise zu den Zusammenhängen.

Mfg Michael
Frage beantwortet
xam193

xam193 aktiv_icon

12:31 Uhr, 05.08.2021

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Vielen Dank! Das hilft mir sehr!