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Wedge Product, Exterior Algebra
Universität / Fachhochschule
Differentialgeometrie
Tags: Differentialgeometrie
 
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Könnte mir vielleicht jemand erklären, wie das Produkt: genau definiert ist. Ich finde das in meinen Unterlagen nicht und auf dem Internet finde ich nur solche Artikel wie: http//mathworld.wolfram.com/WedgeProduct.html Mich interessiert es ja nicht, ob das wedge product jetzt bilinear ist oder nicht. Ich will nur wissen, wie es genau definiert ist?! Ich weiss, solche Fragen sind mühsam. Aber ich verstehe leider wirklich nur Bahnhof... Vielen Dank schon im Voraus für eure Hilfe. |
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Hallo Didgeridoo das wedgeprodukt ist ein Produkt zwischen zwei alternierenden Multilinearformen. Ich konstruier es dir mal im Folgenden: Gegeben sind zwei alternierende Multilinearformen und . Die einfachste Möglichkeit diese beiden k-linearformen zu einem produkt zu verknüpfen, wäre es sie ganz normal zu multiplizieren. Also etwa so: . dieses produkt verknüpft die und die form zu einer (k+l)-Form. Leider ist, wie leicht zu zeigen ist, im allgemeinen nicht alternierend, . wir verlassen damit den Raum der alternierenden Multilinearformen und gehen in den Raum der Multilinearformen über. Damit ist dieses so definierte Produkt nicht abgeschlossen. Ein Produkt sollte aber abgeschlossen sein. Es ist ungünstig, wenn die Operation aus dem Raum hinausführt. Nun ist aber der Raum der alternierenden Multilinearformen ein Unterraum des Raumes der Multilinearformen. Deshalb konstruieren wir das wedgeprodukt über einen Projektor, . einer Abbildung, welche in den raum der alternierenden Multilinearformen projiziert. Diesen Projektor nennt man Alternator: Die Abbildung Dabei ist die Permutationsgruppe und es ist Man beachte die Ähnlichkeit dieser Abbildung zur Determinante. Diese Abbildung macht nichts anderes als eine multilinearform in den raum der alternierenden Multilinearformen zu projizieren. das wedgeprodukt besteht nun darin zuerst die beiden alternierenden multilinearformen ganz normal zu multiplizieren und anschließend den Alternator darauf anzuwenden. Also Das ist die direkte definition des wedgeproduktes. Das kann man sich leicht merken, wenn man bereits die Definition der Determinante kennt. Die Determinante ist schließlich auch eine alternierende Multilinearform. Das Wedgeprodukt hat natürlich bestimmte Eigenschaften. Zum Beispiel hat es eine graduierte kommutativität, . es gilt: Häufig verzichtet man auf die direkte Darstellung des wedgeproduktes und definiert es über seine Eigenschaften. Die Eigenschaften kann man aber an dieser direkten darstellung überprüfen. Ich hoffe ich konnte helfen |
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Ja, das hat mir schon sehr viel gebracht. Danke vielmals! :-) |
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