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Weg einer Schnecke als unendliche Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz

Blackparrot aktiv_icon

18:39 Uhr, 15.11.2016

Guten Abend!
Am nullten Tag sitzt eine Schnecke am einen Ende eines

10

Meter langen Gummis. Die Schnecke kriecht jeden Tag um 1 Meter weiter. Doch jede nacht (wenn die Schnecke schläft), wird der Gummi gleichmäßig um

10

Meter gedehnt. Erreicht die Schnecke jemals das andere Ende des Gummi?
Das ist eigentlich eine interessante Frage. Ähnliche Aufgaben wurden bereits in Foren diskutiert, doch leider konnte ich daraus keine fruchtende Erkenntnis für meinen Lösungsweg finden. Meine Überlegung ist die, dass die Schnecke am nullten Tag 1 meter kriecht:
Also

a_{0} = 1

In der Nacht wird der Gummi um

10 m

gedehnt, also sitzt die Schnecke am nächsten Morgen

2 m

hinter dem Beginn. Sie bewegt sich nun um 1 meter weiter:
Also

a_{1} = 3 = \frac{2}{1} \cdot a_{0} + 1

Das geht so weiter:

a_{2} = \frac{3}{2} \cdot a_{1} + 1 = 5,5

a_{3} = \frac{4}{3} \cdot a_{2} + 1 = \frac{25}{3}

a_{4} = \frac{5}{4} \cdot a_{3} + 1 = \frac{137}{12}

. .

a_{n} = \frac{n + 1}{n} \cdot a_{n - 1} + 1

Ist das soweit richtig? Daran erkennt man doch, dass man daraus eine Art unendliche Reihe basteln kann, aber leider ist das der Punkt, an dem ich hänge. Könnte mir dabei jemand helfen?

/ :

Dabei kam mir gerade die Idee, den Prozentanteil anzuschauen:

Wenn

\frac{\frac{n + 1}{n} \cdot a_{n - 1} + 1}{n \cdot 10} > 1,

hießt das, dass die Schnecke mehr als

100 %

der Strecke geschafft hat, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Apilex aktiv_icon

21:17 Uhr, 15.11.2016

\to

Das dehnen ändert an sich den Anteil der zurückgelegten strecke nicht

\to

sonder nur der zugewinn ist abhämgig von der Anzahl der Dehungen

n \to

zugewinn

= \frac{1}{10} \cdot (n + 1)

der Gesammtstrecke an dem Tag
das heißt es ergibt sich die Reihe für die Anteile von der Gesamtlänge

\frac{1}{10} \to

ende des Tsges bei

: 0

Dehnungen

\frac{1}{10} + \frac{1}{20} \to : 1

Dehnungen

\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} \to : 2

Dehnungen

\frac{1}{10} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{40} \to : 3

Dehnungen

...

.

und

\frac{1}{10} \cdot \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{i} \to

bei

: n

Dehnungen am Tages ende

\to

und über di Harmonische Reihe ist divergenz bekannt

anonymous

00:24 Uhr, 16.11.2016

Hallo
Zunächst mal sollten wir offensichtlich das Aufgabenverständnis nochmals klären.
Ich ahne:

>

Die Schnecke ist punktförmig,

d . h

. hat keine Ausdehnung,

>

die Schnecke sitzt AUF dem Gummiband,

>

es wechseln sich Tages- und Nacht-Ereignisse ab,

>

am Tag kriecht die Schnecke

1 m

auf dem Band voran,

>

bei Nacht schläft sie,

d . h

. sie bewegt sich nicht relativ zu dem Punkt auf dem Gummiband, auf dem sie sitzt,

>

bei Nacht wird aber das Gummiband um

10 m

gedehnt,

> d . h

. sowohl der Gummiband-Anfang als auch das Gummiband-Ende entfernt sich von der Schnecke; die Schnecke behält lediglich die relative Position, den prozentualen Anteil ihres zurückgelegten Weges.

Unter diesem Verständnis kann ich die Überlegungen von Blackparrot nachvollziehen und nachrechnen.
Unter diesem Verständnis kann ich die Überlegungen von Apilex leider nicht verstehen.
Lieber Apilex, bitte versuch doch deine Gedankengänge und Begriffe klarer zu stellen.

Z . B

. wenn du von 'Zugewinn' sprichst, welchen Zugewinn meinst du?

Ich muss gestehen, dass ich jetzt einfach mal mein Tabellenkalkulationsprogamm angeworfen habe. Wenn ich der numerischen Genauigkeit dessen vertrauen darf, dann dürfte die Schnecke nach ca.

12370

Tagen das Gummiband-Ende erreichen.
Aber ich muss weiter gestehen, dass ich auch noch keine geschlossene Formel für den Zusammenhang gefunden. Und ich ahne, dass ich für einen Beweis oder eine Annäherung eine geschlossene Formel benötigte.

Apilex aktiv_icon

01:12 Uhr, 16.11.2016

mit Zugewinn meine ich den Anteil von l(wobei

l =

Länge des Gummibandes an dem jeweiligen Tag) den die Schnecke an diesem Tag zurück legt

wobei wichtig ist das die Dehnung das verhältniss : von Länge des Gummibandes zu entferung der Schnecke von Anfang des Gummis nicht verändert(oder auch prozentualen Anteil ihres zurückgelegten weges).

\to

deshalb macht sich das rechnen mit dem Verhältnis einfacher da die Dehnung das nicht beeinflusst und ich muss mir nur überlegen wie sich das Verhältniss verändert.

\to

welchen Anteil der Gesammtlänge des Gummibandes die Schnecke an dem jeweiligen Tag schaft

\to (

Zugewinn ).

( die Formel die ich angegeben hatt soll

\frac{1}{10 \cdot (n + 1)}

heißen und nicht

\frac{1}{10} \cdot (n + 1) \to

klammern vergessen)

die Summme über die Zugewinne der Tage 0 bis

n

ergibt dann den Anteil von der Gesammtlänge des Gummibandes zurückgelegten Weges. und wenn die Summe

\geq 1

wird dann ist die Schnecke am ende Angekommen

\to

da sie genau gleich oder mehr als die Gesammtlänge des Gummibandes zurückgelegt hat
und das das eintritt folgt aus der Divergenz von der von mir angegeben Reihe

Blackparrot aktiv_icon

08:46 Uhr, 16.11.2016

Hallo Apilex, hallo kreadoor,

für mich (als blutiger Anfänger in diesem Bereich der Mathematik) hört sich Apilexs Lösungswegs logisch und korrekt an. Ich bin jetzt aber auch etwas verunsichert. Falls kreadoor noch eine andere Idee hat, wäre ich darauf sehr gespannt :-)
Ich werde jetzt aber einfach einmal mit der Lösung von Apilex rechnen und schauen, wie das bei mir läuft.
Grüße!

Edddi aktiv_icon

10:16 Uhr, 16.11.2016

. .

. ich seh's ähnlich wie kreadoor. Mein excel spuckt ähnliches Ergebnis raus.

Zum Verständnis die Position der Schnecke:

Ende 1. Tag:

1 m

von

10 m \to

Restweg:

9 m

Anfang 2. Tag:

2 m

von

20 m

Ende 2. Tag:

3 m

von

20 m \to

Restweg:

17 m

Anfang 3. Tag:

4,5 m

von

30 m

Ende 3. Tag:

5,5 m

von

30 m \to

Restweg:

24,5 m

Anfang 4. Tag:

7 \frac{1}{3} m

von

40 m

Ende 2. Tag:

8 \frac{1}{3} m

von

40 m \to

Restweg:

31 \frac{2}{3} m

So geht's nun immer weiter. Scheinbar wird der Restweg für die Schnecke immer größer. Dies ist aber nur absolut so. Wahrend aber nach der ersten Nacht der Restweg um

8 m

gewachsen ist, so ist er in der darauffolgenden Nacht nur um

7,5 m,

darauf nur noch um

7 \frac{1}{6} m

usw. gewachsen.

Also muss man der Schnecke einfach nur Zeit geben. Mein Excel ermittelt nach

4.548

Tagen ein Aufhören des Restweg-Wachstums, da hat die Schnecke dann noch

4.549 m

vor sich. Dafür brauch sie dan bis zum

12.366

. Tag an dem nur noch knapp ein halber Meter zurückzulegen ist.

Die Schnecke bräuchte also ca.

33,9

Jahre.

Ich schau mal noch, ob ich 'ne geschlossene Lösung finde.

;-)

Edddi aktiv_icon

11:00 Uhr, 16.11.2016

Sei

n

Anzahl der der Tage, so ist die zurückgelegte Strecke am Morgen:

n \cdot \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = n \cdot H_{n}

wobei

H_{n}

die n-te harmonische Zahl ist.

Die Reststrecke ist dann ja

10 \cdot n - n \cdot H_{n} = n \cdot (10 - H_{n})

Diese Reststrecke muss kleiner gleich

1,

damit die Schnecke diese noch an einem Tag bewältigen kann:

n \cdot (10 - H_{n}) \leq 1

bzw.

n \cdot (10 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}) \leq 1

Man kommt hier zwar auch auf

12366,

aber eine einfache Umstellung auf

n

ist wohl nicht möglich.

;-)

Blackparrot aktiv_icon

17:13 Uhr, 16.11.2016

Hallo Edddi,
danke für deine Idee!
Wenn ich das jetzt mathematische beweisen wollte, müsste ich doch lediglich zeigen, dass

10 - (\frac{1}{n}) \leq

die harmonische Reihe. Und da

\frac{1}{n}

eine Nullfolge und die harmonische Reihe über alle Grenzen hinaus divergent ist, ist diese Ungleichung erfüllt. Und das sagt uns, dass die Schnecke das Ende des Gummis erreicht, oder?

Edddi aktiv_icon

17:31 Uhr, 16.11.2016

. .

. na klar - zum Nachweis, dass die Schnecke das Ende nach einer endlichen Anzahl von Tagen erreicht taugt diese Ungleichung mit deiner Interpretation auf jeden Fall.

Ich war nur immer drauf aus, das entsprechende

n

berechnen zu wollen, was ja gar nicht verlangt war.

:-)

Blackparrot aktiv_icon

18:42 Uhr, 16.11.2016

Super, vielen Dank für die hilfreichen Nachrichten! Damit wäre meine Frage beantworte ;-)
Grüße und einen schönen Abend!

Blackparrot aktiv_icon

18:42 Uhr, 16.11.2016

Super, vielen Dank für die hilfreichen Nachrichten! Damit wäre meine Frage beantworte ;-)
Grüße und einen schönen Abend!

Blackparrot aktiv_icon

18:42 Uhr, 16.11.2016

Super, vielen Dank für die hilfreichen Nachrichten! Damit wäre meine Frage beantworte ;-)
Grüße und einen schönen Abend!

Blackparrot aktiv_icon

18:43 Uhr, 16.11.2016

Super, vielen Dank für die hilfreichen Nachrichten! Damit wäre meine Frage beantworte ;-)
Grüße und einen schönen Abend!

anonymous

11:45 Uhr, 18.11.2016

Hallo
Danke Apilex für die nun bessere Erklärung.
Ja, dein Ansatz gewinnt nun auch bei mir zunehmende Sympatie.
Der gab mir nämlich jetzt auch Zugang zu einer sehr ordentlichen Näherung für eine geschlossene Lösung.

Ich erlaube mir nun mit

m

eine Indexverschiebung gegenüber

n,

um diesen lästigen 0-ten Tag zu vermeiden.
Wir sind uns sicher einig, dass der Zusammenhang

f (m) = \frac{1}{10} \cdot \sum_{i = 1}^{m} \frac{1}{i}

das Verhältnis zurückgelegter Weg der Strecke / Bandlänge beschreibt.

Als Näherung habe ich mir erlaubt, dies in eine Differenzialgleichung bzw. ein Integral anzunähern:

g (m) = \frac{1}{10} \cdot \int \frac{1}{i}

*di

g (m) = \frac{1}{10} \cdot [ln (m) - C]

Und die Integrationskonstante

C

habe ich mir jetzt mal erlaubt so zu wählen, dass nach 5 Tagen, also

m = 5,

die Gleichung gerade stimmig ist.
Nach 5 Tagen lässt sich das Verhältnis zurückgelegter Weg / Bandlänge ja noch recht komfortabel zu Papier bringen:

f (5) = \frac{137}{600}

folglich:

g (m) = \frac{1}{10} \cdot [ln (m) - ln (5) + \frac{137}{60}] = \frac{137}{600} + \frac{ln (\frac{m}{5})}{10}

So, und mit dieser recht passablen Gleichung lässt sich auch der Tages-Zeitbedarf der Schnecke recht leicht auflösen. Um ans Bandende zu gelangen muss die Schnecke doch ein Verhältnis

f (m) = 1

erreichen.

f (m) =

ca.

g (m) = 1

\to

m = 5 \cdot e^{\frac{463}{60}} = 11227.3

Na ja, ich vertraue meinem Tabellenkalkulationsprogramm trotz numerischer Bedenken doch noch ein wenig mehr, als dieser Näherung. Mein numerischer Weg führte zu

m =

ca.

12370

Der Näherungsweg über

g (m)

führte nun zu

m = 11227

Na ja, doch schon einigermaßen ähnlich.

Zumindest zeigen all diese Überlegungen, dass das Problem für die Schnecke nach endlicher Zeit lösbar ist.

anonymous

12:02 Uhr, 18.11.2016

Ergänzung:
Auch für den 6. Tag lässt sich die Integrationskonstante noch ähnlich leicht abstimmen. Dann:

f (6) = \frac{147}{600}

g (m) = \frac{147}{600} + \frac{ln (\frac{m}{6})}{10}

Gemäß dieser nun besseren Näherung erreicht die Schnecke nach folgenden Tagen das Bandende:

m = 6 \cdot e^{\frac{453}{60}} = 11404

Ich ahne, so konvergieren wir recht zügig auf die Größenordnung

12370

1336724

1336052

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