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Wegintegral über totalem Differential?

Universität / Fachhochschule

Tags: Integralrechnung, totales Differenzial, Wegintegral

Sunny92 aktiv_icon

17:51 Uhr, 03.12.2014

Hallo,

ich möchte folgendes Integral lösen:

\int_{C} d f (\vec{x}) = \int_{C} \nabla f (\vec{x}) \cdot d \vec{x}

Dabei ist das totale Differential gegeben über:

d f (x, y) = y x \cdot d x + x^{2} \cdot d y

Der Weg C ist folgendermaßen gegeben: Von Punkt

D

zu Punkt

E

nach Punkt

F

, wobei D,E und D,F über Geraden miteinander verbunden sind. Es gilt:

D = (x_{0}, y_{0})

und

E = (x, y_{0})

sowie

F = (x, y)

.

Wie genau funktioniert die Berechnung dieses Integrals nun? Dachte, ich integriere einfach dx und dy aus und zwar von

x_{0}

bis

x

bzw. von

y_{0}

bis

y

. Das scheint aber falsch zu sein.

Grüße
Sunny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

16:45 Uhr, 05.12.2014

Zunächst mal für jeden Streckenabschnitt seperat integrieren. Knicke erweisen sich als störrisch und unintegrierbar. Dann gilt entlang der Strecken ein Zusammenhang zwischen y und x - der sollte Berücksichtigung finden.

DerDepp aktiv_icon

17:59 Uhr, 05.12.2014

Hossa :-)

Das Integral

I = \int_{C} d f (\vec{x}) = \int_{C} (y x d x + x^{2} d y)

kannst du in 2 Teilintegrale zerlegen:

I = \int_{C} y (x) x d x + \int_{C} x^{2} (y) d y

Dabei musst du im ersten Integral die Variable y als Funktion von x ausdrücken, weil du ja über x intergrierst. Im zweiten Integral muss entsprechend die Variable x als Funktion von y ausgedrückt werden, da du ja über y integrierst. Die dazu nötige Information holst du dir aus der Form des Weges.

Weg

C_{1}

von

D (x_{0}, y_{0})

nach

E (x, y_{0})

ist eine Gerade. Der y-Wert ändert sich entlang des Weges nicht, also ist

d y = 0

, sodass das zweite Integral wegfällt. Der y-Wert entlang des Weges ist konstant, also

y (x) = y_{0}

. Die x-Koordinate läuft von

x_{0}

bis

x

. Also haben wir:

I_{1} = \int_{C_{1}} y (x) x d x + \int_{C_{1}} x^{2} (y) d y = \int_{x_{0}}^{x} y_{0} x d x = \frac{y_{0}}{2} (x^{2} - x_{0}^{2})

Weg

C_{2}

von

E (x, y_{0})

nach

F (x, y)

ist eine Gerade. Der x-Wert ändert sich entlang des Weges nicht, also ist

d x = 0

, sodass das erste Integral wegfällt. Der x-Wert entlang des Weges ist konstant gleich x, er hängt nicht von y ab. Die y-Koordinate läuft von

y_{0}

bis

y

. Also haben wir:

I_{2} = \int_{C_{2}} y (x) x d x + \int_{C_{2}} x^{2} (y) d y = \int_{y_{0}}^{y} x^{2} d y = x^{2} \int_{y_{0}}^{y} d y = x^{2} (y - y_{0})

Die Summe aus

I_{1}

und

I_{2}

ist das gesuchte Integral...

Ok?

Sunny92 aktiv_icon

18:46 Uhr, 05.12.2014

Hallo,

also eigentlich genau so einfach, wie ich mir es dachte. ich wurde nur verunsichert, da alle anderen bei der Aufgabe eine Parametrisierung der Geraden gemacht haben und mit Vektorfeldern aufwendig herumgerechnet haben.

Also vielen Dank für das vorrechnen. Hat wirklich sehr gut geholfen!

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