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Wegintegral und Parametrisierung

Universität / Fachhochschule

Tags: parametrisierung, Wegintegral

muehle1337 aktiv_icon

13:59 Uhr, 06.03.2018

Hallo, ich habe eine Aufgabe bekommen, dass Wegintegral zu lösen. Ich weiß aber leider nicht genau, wie ich das lösen kann.

Gegeben sei das Vektofeld

\vec{f} = (\begin{array}{rcl} 2 x_{1} x_{2} + x_{3}^{3} \\ x_{1}^{2} \\ 3 x_{1} x_{3}^{2} \end{array})

Berechne das Wegintegral

\int_{C}^{} \vec{f} d \vec{r}

über den Weg C:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

,der dem Ursprung entland der Korrdinatenlinien führt.

Ich muss jetzt das Vektorfeld parametrisieren oder nicht?
Wie genau mache ich das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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14:05 Uhr, 06.03.2018

Parametrisieren musst Du den Weg. Z.B.

(0, 0, 0) \to (1, 0, 0)

durch

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (t, 0, 0)

t \in [0, 1]

.
Und beachte, dass

f d r

in Wirklichkeit ein Skalarprodukt ist.

muehle1337 aktiv_icon

14:12 Uhr, 06.03.2018

Könnten Sie mir das noch mal genauer erklären?

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14:25 Uhr, 06.03.2018

Hier gibt's keine Vorlesungen.
Theorie musst Du selber lesen. Z.B hier

de.wikiversity.org/wiki/Wegintegral/Zeitunabh%C3%A4ngiges_Vektorfeld/Einf%C3%BChrung/Textabschnitt

oder hier

www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a3/0708/vorl11_a3.pdf ( Kurvintegrale zweiter Art)

Falls Du etwas nicht verstehst, frag konkret.

muehle1337 aktiv_icon

14:32 Uhr, 06.03.2018

Ich brauche eher Hilfe bei der Parametrisierung.
Ich verstehe nicht genau wie ich das machen muss.

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14:42 Uhr, 06.03.2018

Dazu gibt's kein Rezept.
Es gibt auch unendlich viele verschiedene Möglichkeiten der Parametrisierung.
Aber wenn Du nur den Anfang und das Ende des Weges kennst und sonst den Weg frei wählen darfst, so ist der gerade Weg die einfachste Wahl.
Und ein gerader Weg zwischen

(x, y, z)

und

(x_{1}, y_{1}, z_{1})

wird standardmäßig durch

(x + t (x_{1} - x), y + t (y_{1} - y), z + t (z_{1} - z))

t \in [0, 1]

parametrisiert. Es ist leicht zu prüfen, dass dieser Weg tatsächlich

(x, y, z)

und

(x_{1}, y_{1}, z_{1})

verbindet.

muehle1337 aktiv_icon

14:55 Uhr, 06.03.2018

Könnten Sie mir das an meinem Beispiel einmal zeigen.
Ich sitze gerade auf dem Schlauch.
Also am ersten Weg?

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15:00 Uhr, 06.03.2018

Was denn genau zeigen?
Die allgemeine Formel für den geraden Weg habe ich schon geschrieben.
Oder ist doch das Integral an sich ein Problem?

muehle1337 aktiv_icon

15:10 Uhr, 06.03.2018

Was genau ist denn dann das x und was das

x_{1} ?

Ich bin einfach duhmm.

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15:13 Uhr, 06.03.2018

(x, y, z)

und

(x_{1}, y_{1}, z_{1})

sind zwei beliebige Punkte in

ℝ^{3}

.
Ich habe dann die Formel für den geraden Weg zwischen ihnen geschrieben.
In dem Fall Deines ersten Weges gilt

(x, y, z) = (0, 0, 0)

und

(x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (1, 0, 0)

muehle1337 aktiv_icon

15:23 Uhr, 06.03.2018

Ok, vielleicht liegt es doch am Integral.
Könnten Sie mir das am ersten Weg einmal zeigen,
dass wäre sehr nett. Sitze gerade mit einem anderen zusammen und er meint,
dass das erste Integral dann

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Stimmt das?

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15:29 Uhr, 06.03.2018

Integral wird natürlich eine Zahl sein und kein Vektor.

Wenn man den ersten Weg nimmt, parametrisiert durch

(t, 0, 0)

,
dann muss man zuerst

(t, 0, 0)

für

(x_{1}, x_{2}, x_{3})

einsetzen und bekommt
entlang des Weges

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2 x_{1} x_{2} + x_{3}^{3}, x_{1}^{2}, 3 x_{1} x_{3}^{2}) = (0, t^{2}, 0)

.
Dann ist

d \vec{r}

quasi die Ableitung des Weges

(t, 0, 0)

, also

(1, 0, 0) d t

(also ist es eher Differential als Ableitung).
Dann

\vec{f} d \vec{r}

ist das Skalarprodukt aus

\vec{f}

und

d \vec{r}

, also

(0, t^{2}, 0) \cdot (1, 0, 0) d t = 0 d t

und das Integral über

0

ist einfach

0

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15:33 Uhr, 06.03.2018

Also ist der 1. Weg nicht wirklich interessant.

Der 2. Weg wird durch

(1, t, 0)

parametrisiert.
Eingesetzt in

f

ergibt

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2 x_{1} x_{2} + x_{3}^{3}, x_{1}^{2}, 3 x_{1} x_{3}^{2}) = (2 t, 1, 0)

.
Für

d \vec{r}

haben

(0, 1, 0) d t

.
Dann

\vec{f} d \vec{r}

ist das Skalarprodukt aus

\vec{f}

und

d \vec{r}

, also

(2 t, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) d t = d t

und das Integral wird

\int_{0}^{1} d t = 1

muehle1337 aktiv_icon

15:43 Uhr, 06.03.2018

Danke. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden.
Ist das letzte Wegintegral 3?
Ist das gesamte Wegintegral dann 4?

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15:46 Uhr, 06.03.2018

Am Ende bildet man die Summe über alle Wege.
Aber ich bin nicht sicher, ob es 3 oder 4 sind.
Mit Pfeilen sind nur 3 gekennzeichnet, aber der Satz "der dem Ursprung entland der Korrdinatenlinien" muten an, dass ein noch ein Weg zurück zum

(0, 0, 0)

fehlt.

muehle1337 aktiv_icon

16:10 Uhr, 06.03.2018

Letzte Frage, um es noch mal genau zu verstehen.
Wenn ich jetzt statt von

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}), v o n (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) \to (\begin{array}{rcl} 1 \\ 6 \\ 0 \end{array})

gehen würde, wie würde das dort dann funktionieren? Hätte ich dann

(\begin{array}{rcl} 1 \\ 6 t \\ 0 \end{array})

und

d \vec{r} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array})

DrBoogie aktiv_icon

16:14 Uhr, 06.03.2018

Von

(1, 1, 0)

(1, 6, 0)

wäre es

(1, 1 + 5 t, 0)

und

d r = (0, 5, 0) d t

muehle1337 aktiv_icon

17:11 Uhr, 06.03.2018

Ok Danke.
Hatte mich verschrieben und wollte von 1,0,0 zu 1,6,0.
Danke für deine Geduld und Hilfe.

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