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Weiße und schwarze Kugeln, Spiel

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

20:33 Uhr, 13.03.2015

Guten Abend,

Meine Aufgabe lautet:
Gabriele und Edwin erfinden folgendes Spiel. Sie geben weiße und schwarze
Kugeln in einen Topf. Gabriele zieht zwei Kugeln zufällig heraus und
gewinnt, wenn sie gleichfärbig sind, andernfalls gewinnt Edwin. Edwin
schlägt vor, zwei weiße und eine schwarze Kugel zu verwenden. Ist dieses
Spiel fair?

Wieviele weiße und schwarze Kugeln würden Sie nehmen, um ein faires
Spiel zu erhalten? Läßt sich eine allgemeine Regel dafür angeben?

Ich habe mir ausgerechnet, dass es nicht fair ist, mit zwei weißen und einer schwarzen Kugel. Da die Wahrscheinlichkeit für Edwin um einiges höher ist.
Um ein faires Spiel zu erhalten,würde ich zwei weiße und zwei schwarze Kugeln nehmen, dann sind die Wahrscheinlichkeiten für Edwin und Gabriele gleich.
Mein Problem ist, dass ich keine allgemein gültige Regel finde. Kann mir da vl jemand weiterhelfen?

Liebe Grüße und vielen Dank :-)

sunday

DrBoogie aktiv_icon

21:35 Uhr, 13.03.2015

Allgemeine Regel ist: es muss gleiche Anzahl von schwarzen und weißen Kugeln sein.

Und jetzt beweis es. ;-)

Bummerang

23:58 Uhr, 13.03.2015

Hallo,

"Um ein faires Spiel zu erhalten,würde ich zwei weiße und zwei schwarze Kugeln nehmen, dann sind die Wahrscheinlichkeiten für Edwin und Gabriele gleich."

Wie kommst Du darauf? Hast Du das mal versucht zu betechnen? Es gibt bei 2 schwarzen und 2 weissen Kugeln genau

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6

Möglichkeiten für das Ziehen eines Paates. Darunter sind genau ein weißes und ein schwarzes Paar, also eine Wahrscheinlichkeit von

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

für ein gleichfarbiges Paar. Mit

\frac{1}{3}

gewinnt dann Edwin mit dem Rest, also

\frac{2}{3}

gewinnt Gabriele. Was ist faran fair?

Wenn Du

n_{1}

Kugeln der einen Farbe und

n_{2}

Kugeln der anderen Farbe hast, dann gibt es insgesamt

(\begin{matrix} n_{1} + n_{2} \\ 2 \end{matrix}) = \frac{(n_{1} + n_{2}) \cdot (n_{1} + n_{2} - 1)}{1 \cdot 2}

= \frac{n_{1}^{2} + n_{1} \cdot n_{2} - n_{1} + n_{1} \cdot n_{2} + n_{2}^{2} - n_{2}}{2}

= \frac{n_{1}^{2} - n_{1}}{2} + \frac{n_{2}^{2} - n_{2}}{2} + n_{1} \cdot n_{2}

= \frac{n_{1} \cdot (n_{1} - 1)}{1 \cdot 2} + \frac{n_{2} \cdot (n_{2} - 1)}{1 \cdot 2}) + n_{1} \cdot n_{2}

= (\begin{matrix} n_{1} \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n_{2} \\ 2 \end{matrix}) + n_{1} \cdot n_{2}

Möglichkeiten. Wenn man sich die drei Summanden genau anschaut, dann entsprechen diese in der Reihenfolge den Möglichkeiten ein Paar der einen Farbe, ein Paar der anderen Farbe und ein gemischtes Paar zu ziehen. Für ein faires Spiel muss gelten:

(\begin{matrix} n_{1} \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n_{2} \\ 2 \end{matrix}) = n_{1} \cdot n_{2}

\frac{n_{1}^{2} - n_{1}}{2} + \frac{n_{2}^{2} - n_{2}}{2} = n_{1} \cdot n_{2}

n_{1}^{2} + n_{2}^{2} - n_{1} - n_{2} = 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2}

n_{1}^{2} - 2 \cdot n_{1} \cdot n_{2} + n_{2}^{2} = n_{1} + n_{2}

{(n_{1} - n_{2})}^{2} = n_{1} + n_{2}

Wenn man mit 4 Kugeln ein faires Spiel haben will, dann muss die Differenz der beiden Anzahlen gleich der Wurzel aus

4,

also 2 sein. Damit ist das Spiel fair bei 3 Kugeln der einen Farbe und bei nur 1 Kugel der anderen Farbe. Dabei ist es egal, ob weiß oder schwarz in der Überzahl ist.

Das nächstgrößte Quadrat ist die 9 und dann müsste sich die Anzahl der Kugeln um

\sqrt{9} = 3

unterscheiden, wie das bei 6 und 3 Kugeln der Fall ist. Bei

16

Kugeln sind das dann

10

und 6 Kugeln.

U . s . w

, u . s . f

. !

Wenn, wie eben behauptet beide Farben gleich oft vertreten sein sollen, ergibt die linke Seite Null und ist somit nur dann möglich, wenn auch die Summe Null ist, also keine Kugeln verwendet werden. Dann allerdings halte ich es für eine sehr schwere Übung, zwei Kugeln zu ziehen!

PS: Die gefundene Gleichung ist übrigends die anzugebende allgemeine Regel, bzw. ĺässt sie sich einfach ableiten:

Die Gesamtzahl der Kugeln

n

muss eine Quadratzahl sein. Die beiden Anzahlen für die Farben sind die Lösung des Gleichungssystems

\sqrt{n} = n_{1} - n_{2}

n = n_{1} + n_{2}

Die Lösung ist

n_{1} = \frac{1}{2} \cdot (n + \sqrt{n})

und

n_{2} = \frac{1}{2} \cdot (n - \sqrt{n}),

wobei dann noch beliebig festgelegt werden kann, welche der beiden Farben die Anzahl

n_{1}

zuzuordnen ist und dementsprechend

n_{2}

der anderen Farbe. Oder wenn man mit Anteilen rechnen will, so muss das Verhältnis der Anzahlen

\sqrt{n} - 1 : \sqrt{n} + 1

sein. Bei

z . B

16

Kugeln ist das Verhältnis

4 - 1 : 4 + 1,

also

3 : 5

und das gilt bei den oben angegebenen 6 und

10

Kugeln.

Matlog aktiv_icon

01:04 Uhr, 14.03.2015

DrBoogie ist offensichtlich von Ziehen mit Zurücklegen ausgegangen. Ich würde diesen Aufgabentext aber auch eher als Ziehen ohne Zurücklegen interpretieren.
Dadurch wird die Aufgabe auch interessanter.

Bummerangs Lösung kann man auch anders darstellen:

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

weiße Kugeln und

(\begin{matrix} n + 1 \\ 2 \end{matrix})

schwarze Kugeln oder umgekehrt,

n \geq 2

Bummerang

02:19 Uhr, 14.03.2015

Hallo Matlog,

da Du Dich auf meine Lösung beziehst, musst Du auch von meinen Bezeichnungen ausgehen und demzugolge von

n

Kugeln und

n

ist eine Quadratzahl. Damit aber ergibt sich meine Lösung in Binomialkoeffizientenschreibweise (welch Wortmonster!) als

(\begin{matrix} \sqrt{n} \\ 2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} \sqrt{n} + 1 \\ 2 \end{matrix})

Matlog aktiv_icon

10:39 Uhr, 14.03.2015

Okay, dass ich ebenfalls den Buchstaben

n

verwendet habe, war wegen Verwechslungsgefahr nicht gut!

Also ein neuer Versuch:

Bummerangs Lösung kann man auch anders darstellen:

(\begin{matrix} m \\ 2 \end{matrix})

weiße Kugeln und

(\begin{matrix} m + 1 \\ 2 \end{matrix})

schwarze Kugeln oder umgekehrt, m≥2.

Dies hat den Vorteil, dass

m

die natürlichen Zahlen ab der 2 durchläuft, und nicht die Quadratzahlen, wie das

n

anonymous

11:03 Uhr, 14.03.2015

Danke an alle erst mal

!!

:-)
Was ich nicht versteh, wenn ich zb zwei weiße und zwei schwarze kugeln habe; dann ist die Wahrscheinlihckeit doch für weiß

\frac{2}{4} = \frac{1}{2} (1

. Zug) und

\frac{1}{3} (2

. Zug) . Und für schwarz hat man doch genau die selbe Wahrscheinlichkeit. Wo ist da der Denkfehler? Danke euch , glg sunday

DrBoogie aktiv_icon

11:18 Uhr, 14.03.2015

"Und für schwarz hat man doch genau die selbe Wahrscheinlichkeit. Wo ist da der Denkfehler?"

Das sind ganz andere W-keiten.
Eigentlich haben es Bummerang und Matlog gut erklärt, aber ich gebe auch meinen Senf dazu, weil ihre Erklärungen anscheinend bei Dir noch nicht angekommen sind.

Stell Dir vor, wir haben zwei weiße und zwei schwarze Kugeln und wir nummerieren sie: 1,2 sind die weißen und 3,4 sind die schwarzen.
Dass gibt's 6 mögliche Ziehungen:

{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}

- es sind ungeordnete Paare, weil es egal ist, welche Kugel zuerst gezogen wurde - ich würde sogar sagen, sie werden gleichzeitig gezogen, zumindest würde ich die Aufgabe so verstehen.
Gleichfarbig sind von diesen 6 nur die Ziehungen

{1, 2}

und

{3, 4}

, das sind 2 von 6, wie Bummerang auch geschrieben hat. Also sind Ereignisse "gleichfarbige Ziehung" und "nicht gleichfarbige Ziehung" nicht gleich wahrscheinlich, sondern haben W-keiten

1 / 3

und

2 / 3

.

PS. Mein Vorschlag am Anfang des Threads war natürlich ein kompletter Unsinn, sorry.

anonymous

12:20 Uhr, 14.03.2015

Aja jetzt hab ichs gecheckt! Vielen Dank für eure Bemühungen, ihr habt mir sehr geholfen.

Lg sunday

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