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Weitere Kombinatorik, Stochastik

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Tags: Kombinatorik, Stochastik

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12:34 Uhr, 23.02.2012

Hier sind noch weitere 3 Aufgaben bei denen ich Probleme habe.

In einer Tüte befinden sich 9 Bonbons, davon je 3 rote, gelbe und grüne. Es werden zufällig drei Bonbons herausgenommen. Die Wahrscheinlichkeit,
dabei alle drei Farben zu bekommen, ist ?

Kennt jemand den Lösungsweg?

- 6

Personen fahren in einem 8-sitzigen Kleinbus.
3 der 6 Personen besitzen einen Führerschein. Wie viele mögliche Sitzordnungen gibt es?

Das Problem hierbei ist für mich vor allem, der Führerschein...

- Es gibt verschiedene zehnstellige Zahlen, in denen 1 mal die Ziffer 1 vorkommt, 2 mal die Ziffer

2, 3

mal die Ziffer 3 und 4 mal die Ziffer 4.

Soll so eine Zahl so aussehen:

1223334444

? Dann sieht das aus wie Permutation, da man die Zahlen ja im Prinzip nur umändern muss und ausrechnen muss wieviele Möglichkeiten es gibt, allerdings gibt es natürlich die Einschränkung, das bspw.

3 = 3

ist und wenn man nur gleiche Zahlen verändert, ist das immernoch dieselbe Zahl...

Vielleicht weiß jemand noch einen Ansatz?

Danke schonmal für eure Mühe :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bummerang

14:18 Uhr, 23.02.2012

Hallo,

ich stelle mal meine Gedanken dazu hier rein:

a)

Ob man nun einmal reingreift und drei Bonbons herausnimmt oder 3 mal nacheinander und dann die Reihenfolge herausrechnet, ist egal. Ich verwende den zweiten Ansatz, der ist mir intuitiver. Für die "guten" Möglichkeiten hat man beim ersten Griff 9 Möglichkeiten, für den zweiten nur noch 6 und für den letzten Griff nur noch 3. Vernachlässigt man noch die Reihenfolge der Farben, dann muß man das Produkt noch durch

3! = 6

teilen. Das ergibt:

\frac{9 \cdot 6 \cdot 3}{6} = 9 \cdot 3 = 27

Möglichkeiten

Um alle Möglichkeiten zu ermitteln, ermittle ich nach dem selben Prinzip mal die Möglichkeiten für 1 und für 2 Farben separat:

Es gibt genau 3 Möglichkeiten mit genau 3 Bonbons genau einer Farbe

Bei den Bonbons mit zwei Farben denke ich, dass es für den ersten Bonbon 9 Möglichkeiten gibt. Da uns die Reihenfolge der Bonbons am Ende nicht interessiert, soll der erste Bonbon gleich die Farbe bestimmen, von der man zwei Bonbons hat. Dann gibt es für den einen gleichfarbigen Bonbon noch 2 Möglichkeiten und für den anderen ungleichfarbigen noch 6 Möglichkeiten. Jetzt ist es bei dieser Zählweise so, dass bei den gleichfarbigen Bonbons noch die Reihenfolge rausgerechnet werden muß, man muß also am Ende durch 2 teilen. Das ergibt:

\frac{9 \cdot 2 \cdot 6}{2} = 9 \cdot 6 = 54

Möglichkeiten

Damit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit für 3 unterschiedlichfarbige Bonbons:

\frac{27}{27 + 3 + 54} = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}

b)

Bei den 6 Personen kannst Du eine Person aus den 3 Personen mit Führerschein auswählen, die sitzt auf dem Fahrersitz. Die verbleibenden 7 Sitze bilden eine feste Reihenfolge, die wir uns mal auch als Reihe vorstellen. Die 5 restlichen (unterscheidbaren) Personen und 2 gedachte, nicht unterscheidbare Luft-Personen werden nun ebenfalls in eine Reihenfolge gebracht. Dafür gibt es die Formel für Permutationen mit Wiederholung. Die liefert hier:

\frac{(5 + 2)!}{1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{7!}{2} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520

Das ergibt insgesamt:

3 \cdot 2520 = 7560

Möglichkeiten.

c)

Permutationen mit Wiederholung:

\frac{10!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!}

= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}

= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}

= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 3 \cdot 2}

= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5}{2}

= 10 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 5

= 12600

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14:28 Uhr, 23.02.2012

In der Tat ist das garnicht mal so kompliziert,

a)

macht Sinn, kla die ANzahl der Bonbosn die unterschiedlich sind, hätte man drauf kommen können.

Bei dem Auto, einen auf dem fahrersitz sitz zu lassen und den Rest zu verteilen ist natürlich Sinnvoll. 5 Personen auf 7 zu verteilen ist einfach, da es 3 mögliche Fahrer gibt am Ende noch multipliziert mit

3,

das hätte ich hinbekommen müssen.

c)

war für mich nicht so offensichtlich, aber klar ohne Reihenfolge heißt dividiert durch

k!

was in diesem Fall

4,3,2

und 1 waren.

Vielen Dank :-)

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