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Welche Axiome werden erfüllt?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Algebra, Axiom, Gruppen

mariem aktiv_icon

08:41 Uhr, 16.08.2018

Hallo,

ich will prüfen welche Gruppenaxiome die folgende Mengen mit den entsprechenden Verknüpfungen erfüllen.

(a)

M = ℝ \cup {\infty}

mit der Verknüpfung

min : M \times M \to M

. Dabei sei

min (a, \infty) = min (\infty, a) = a

für alle

a \in M

.
(b)

M = n ℤ = {n \cdot a ∣ a \in ℤ}

für ein

n \in ℕ

mit der üblichen Multiplikation von ganzen Zahlen als Verknüpfung.
(c)

M = {w, f}

mit der Verknüpfung

A ⋆ B := (A \Rightarrow B)

.
(d)

M = {g \in G ∣ \forall h \in G : g ⋆ h = h ⋆ g}

für eine Gruppe

(G, ⋆)

mit der Verknüpfung der Gruppe

(G, ⋆)

als Verknüpfung.

Eine Gruppe ist eine Menge

G

zusammen mit einer Verknüpfung

⋆

auf

G

, geschrieben

(G, ⋆)

, so dass folgende Axiome gelten:
G1) Abgeschlossenheit: Für alle

a, b \in G

gilt

a ⋆ b \in G

.
G2) Assoziativgesetz: Für alle

a, b, c \in G

gilt

a ⋆ (b ⋆ c) = (a ⋆ b) ⋆ c

.
G3) Einselement: Es gibt ein Element

e \in G

mit der Eigenschaft

a ⋆ e = e ⋆ a = a

für alle

a \in G

e

heißt neutrales Element der Gruppe

G

.
G4) Inverses Element: Zu jedem Element

a \in G

gibt es ein

a ʹ \in G

, so dass

a ⋆ a ʹ = a ʹ ⋆ a = e

a ʹ

heißt inverses Element zu

a

.

Ich habe folgendes gemacht:

(a) Das neutrale Element ist

e = \infty

, also (G3) ist erfüllt. Es gibt kein inverses Element, somit wird (G4) nicht erfüllt.
Richtig?
Wie kann man (G1) und (G2) prüfen?

(b) (G1) und (G2) sind erfüllt da wir die üblichen Multiplikation von ganzen Zahlen haben. Das neutrale Element existiert wenn

n = 1

, sonst nicht.
Das Element

0

hat kein Inverses, also wird (G4) nicht erfüllt.

(c) Wie kann man (G1) und (G2) prüfen?
Das neutrale Element ist w, oder nicht?
Aber es gibt kein Inverses Element, oder?

(d) (G1) und (G2) folgen von der Tatsache dass wir die Verknüpfung haben, und diese somit erfüllt sind.
Sei

e

das neutrale Element von

G

. Dann haben wir dass

e ⋆ h = h = h ⋆ e

, oder nicht? Somit ist

e

auch in

M

, also gilt (G3).
Sei

g \in M

. Sei

g^{- 1}

das Inverse von

g

. Dann haben wir dass

g^{- 1} ⋆ g = e = g ⋆ g^{- 1}

, also

g^{- 1} \in M

. Also gilt auch (G4).

Ist alles richtig? Könnte ich etwas verbessern?

ermanus aktiv_icon

09:33 Uhr, 16.08.2018

Hallo,

zunächst mal zu (c):
(G1) ist trivial; denn es kommt ja immer entweder

w

oder

f

heraus.
(G2) kannst du mit Wahrheitstafel überprüfen. Tipp: (G2) ist nicht erfüllt.
Suche also nach Gegenbeispiel.
(G3) Ein Einselement muss mit jedem Element vertauschbar sein.
Ist das für

f

oder

w

erfüllt?
(G4) kann nur gelten, wenn (G3) erfüllt ist.

Später mehr ...

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

10:38 Uhr, 16.08.2018

Zu (a):
(G1) ist trivial.
(G2) müsste man mit einer etwas aufwendigen Fallunterscheidung
durchführen. Es reicht aber vermutlich die "einleuchtende" Tatsache,
dass

min (min (a, b), c) = min {a, b, c}

ist und

min (a, b) = min (b, a)

.
(G3) hast du richtig erkannt.
bei (G4) musst du ein Element angeben, das kein Inverses besitzt;
denn

\infty

hat ein Inverses: also ist die Aussage "es gibt kein Inverses"
in dieser Allgemeinheit falsch.

Zu (b):
Bei (G1) musst du begründen, dass

(n \cdot a) \cdot (n \cdot b)

wieder ein Element der
Gestalt

n \cdot c

mit einer ganzen Zahl

c

ist. Das ist fast trivial ...
(G2) hast du richtig begründet.
(G3) und (G4) hast du richtig.

Zu (d):
Hier musst du (G1) wirklich begründen; denn dass das Produkt zweier Elemente
aus

M

G

liegt, ist ja klar, aber dass dieses Produkt auch wieder in

M

(!)
liegt, muss gezeigt werden.
Bei (G4) hast du dasselbe Problem: unbestritten gibt es

g^{- 1}

G

,
du musst aber begründen, warum es auch in

M

liegt.
(G2) ist klar, da es in der Obermenge

G

gilt.
(G3) hat du richtig.

Gruß ermanus

anonymous

17:34 Uhr, 16.08.2018

a)

Abgeschlossenheit ist trivial. ( Gilt übrigens für alle

\to

vollständig geordneten Mengen; für

\to

Halbordnung ist diese Operation

i . A

. nicht definiert. )
Ich mache dich ausdrücklich darauf aufmerksam, dass du in der Praxis instinktiv von der Gültigkeit des Assoziativgesetzes ( AG ) Gebrauch machst. Falls du es noch nicht wissen solltest: aus dem AG folgt induktiv, dass du bei einem " Produkt " aus

4711

Faktoren keine Klammern setzen brauchst:

min (a_{1}, a_{2}, a_{3}, . .

, a_{4711}) (1 a)

Aber rechnen wir es nach; es gelte

a_{1} < a_{2} < a_{3} (1 b)

min (min (a_{1}, a_{2}), a_{3}) = min (a_{1}, a_{3}) = a_{1} (1 c)

min (a_{1}, min (a_{2}, a_{3})) = min (a_{1}, a_{2}) = a 1 (1 d); w z b w

ein linksneutrales gibt es nicht; das wäre ja widersinnig . Aus den Ordnungsaxiomen folgt, dass wenn es überhaupt ein kleinstes gibt, dies eindeutig ist .

b)

Streng genommen dürfter ich das nicht durchgehen lassen; eine Gruppentafel ist immer quadratisch . Also entweder hast du

ℕ X ℕ

oder

ℤ X ℤ

. Aber so ein Hybrid Dingsbums wie

ℕ X ℤ

habe ich mein Lebtag noch nie gesehen; weitere Erwägungen supraleitend - äh superflüssig

. .

d)

ist nicht nur Gruppe, sondern auch Normalteiler und heißt Zentrum der Gruppe .

ermanus aktiv_icon

17:48 Uhr, 16.08.2018

Zu (b):
Da steht nichts von

ℕ \times ℤ

.
Hier wird für festes

n

von der Menge

M = n ℤ

mit der Verknüpfung

n ℤ \times n ℤ \to n ℤ

mit

(n_{1} z_{1}, n_{2} z_{2}) \mapsto n_{1} z_{1} \cdot n_{2} z_{2}

gesprochen.

(n ℤ, \cdot)

ist offenbar eine Halbgruppe.

Zu (a): es gibt durchaus ein neutrales Element, nämlich

\infty

anonymous

18:30 Uhr, 16.08.2018

Die

c)

ist noch intressant. Linksneutrales ist

w

w \to w = w; w \to f = f (2.1)

Genau so beweist man: beide,

f

wie

w,

sind zu sich selbst invers . Wäre diese Struktur eine Gruppe, so muss man bedenken, dass es zu der Primzahl 2 nur die eine zyklische Gruppe gibt:

0 + 1 = 1 + 0 = 1

. Aber unsere Struktur ist alles andere als kommutativ

f \to w = w; w \to f = f (2.2)

Was ist da los? Diese Schlussregel kann offenbar nicht assoziativ sein;

(a \to b) \to c

ist etwas anderes als

a \to (b \to c)

Mir fällt " ums Verrecken " kein Gegenbeispiel an; Rundruf an alle: gute Beispiele für

a, b

und

c

ermanus aktiv_icon

18:35 Uhr, 16.08.2018

(f \Rightarrow w) \Rightarrow f = f

, aber

f \Rightarrow (w \Rightarrow f) = w

anonymous

18:41 Uhr, 16.08.2018

Danke; ich hatte mich wieder mal falsch einsortiert. Es sollte eine Ergänzung meiner Antwort sein und kein Kommentar zu dir .
Was ich immer noch suche, sind konkrete Aussagen des Alltagslebens bzw. der Matematik, die man für

a, b

und

c

setzen kann.
Der Witz ist ja gerade: Die Transitivität des logischen Schließens ist schon Kindern instinktiv geläufig, um so mehr Analfabeten und Sonderschülern .
Aber dies hier sieht nur so ähnlich aus und ist in Wirklichkeit etwas ganz andreas .

mariem aktiv_icon

20:23 Uhr, 20.08.2018

Vielen Dank!!

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