Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Welche Basis nehmen?

Welche Basis nehmen?

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: basis berechnen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

Zimtos aktiv_icon

17:27 Uhr, 28.03.2014

Hallo, ich habe hier 4 Vektoren:

a 1 = (1, 1, 0, 1, 2),

a 2 = (0, 1, - 1, 1, - 1),

a 3 = (1, 0, 2, 0, 4),

a 4 = (0, 0, 1, 0, 1)

und soll die Basis bestimmen.

Wenn ich nun das Gleichungssystem mit Gauss löse, bekomme ich

die Basis:

(1,1,0,1,2), (0, 1, - 2, 1, - 2)

und

(0, 0, 1, 0, 1)

Ich habe aber gesehen, dass man auch die Ursprungsvektoren als Lösung angegeben hat, wäre also

a 1, a 2

und

a 3

dann auch eine Lösung oder muss man immer die Gleichungen aus dem Gauss nehmen?

LG
Zimtos

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

18:37 Uhr, 28.03.2014

Es gibt immer unendlich viele Basen, du kannst eine beliebige nehmen. Also muss es nicht "eine aus dem Gauss" sein (übrigens, Gauss-Verfahren ist auch nicht eindeutig).

Deine Basis muss nur denselben Unterraum erzeugen wie die Originalvektoren.

Zimtos aktiv_icon

05:22 Uhr, 29.03.2014

Wie erkenne ich denn, ob die Vektoren den selben UVR erzeugen, wie die Originalen?

Und was ich auch noch nicht verstanden habe: Wenn ich beispielsweise 4 Vektoren habe und die mit dem Gauss auf lineare Abhängigkeit teste und dann eine Nullzeile am Ende rauskommt, wie kann ich dann aus der Zeilenstufenform ablesen, welche 3 der 4 Vektoren eine Basis bilden? Ich habe angenommen, dass die, die auf einer Stufe liegen, wohl linear abhängig voneinander sind, aber ich schreibe die Vektoren ja waagerecht, wie kann ich es da erkennen?

anonymous

07:29 Uhr, 29.03.2014

Wenn von 4 Vektoren, durch das Gauss-Verfahren einer zum Nullvektor wird,
dann gibt es dabei nur 3 linear unabhängige Vektoren.

Einer davon lässt sich durch Linearkombination der drei anderen darstellen:

a 4 = c 1 \cdot a 1 + c 2 \cdot a 2 + c 3 \cdot a 3

.
Welcher ist egal.

Paulus

07:43 Uhr, 29.03.2014

Hallo Zimtos

Nach der Anwendung des Gauss-Algorithmus weisst Du, wie viele Dimensionen der aufgespannte Untervektorraum hat. Aus den gegebenen Vektoren darfst du einfach soviele herauspflücken, wie die Dimension angibt. Einzige Voraussetzung: die herausgepflückten Vektoren müssen linear unabhängig sein! Oder anders formuliert: schmeiss einfach mal einen linear abhängigen Vektor weg. Von den übriggebliebenen Vektoren kannst du wieder einen abhängigen wegnehmen, sofern du noch einen findest. Dies tust Du solange, bis eben alle übriggebliebenen Vektoren linear unabhängig sind.

In Deinem Beispiel müsstest Du nur überprüfen, ob die Vektoren

\vec{a_{1}}

\vec{a_{2}}

\vec{a_{3}}

linear unabhängig sind. Diese Prüfung hast Du aber mit dem Gauss-Algorithmus bereits getan (weil ja die ersten drei Zeilen nicht zu Null-Zeilen geworden sind).

Vielleicht kannst Du Dir etwas Klarheit verschaffen, wenn Du mal beim Gauss-Algorithmus den Resultat-Vektor mitschreibst:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & ¦ & \vec{a_{1}} \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & ¦ & \vec{a_{3}} \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 1 & ¦ & \vec{a_{2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & \vec{a_{4}} \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & ¦ & \vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & - 2 & ¦ & \vec{a_{1}} - \vec{a_{3}} \\ 0 & 1 & - 1 & 1 & - 1 & ¦ & \vec{a_{2}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & \vec{a_{4}} \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & ¦ & \vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & - 2 & ¦ & \vec{a_{1}} - \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & \vec{a_{4}} \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & ¦ & \vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & - 2 & 1 & - 2 & ¦ & \vec{a_{1}} - \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & ¦ & - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} - \vec{a_{4}} \end{array})

Die letzte Zeile besagt also:

- \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} - \vec{a_{4}} = \vec{0}

Also kannst du sagen:

\vec{a_{1}} = \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} - \vec{a_{4}}

, d.h.

\vec{a_{1}}

ist eine Linearkombination der anderen, kann also weggelassen werden.

ODER:

\vec{a_{2}} = \vec{a_{1}} - \vec{a_{3}} + \vec{a_{4}}

, d.h.

\vec{a_{2}}

ist eine Linearkombination der anderen, kann also weggelassen werden.

ODER:

\vec{a_{3}} = \vec{a_{1}} - \vec{a_{2}} + \vec{a_{4}}

, d.h.

\vec{a_{3}}

ist eine Linearkombination der anderen, kann also weggelassen werden.

ODER:

\vec{a_{4}} = - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}}

, d.h.

\vec{a_{4}}

ist eine Linearkombination der anderen, kann also weggelassen werden.

Bei Deiner angegebenen Alternativlösung hat man sich offenbar für die 4. Möglichkeit entschieden.

Du siehst also: es gibt unendlich viele Möglichkeiten, drei Basisvektoreen anzugeben. Sie müssen nur linear unabhängig sein und im aufgespannten Untervektorraum liegen.

Dass deine errechnete Lösung Vektoren aus dem dem Untervektorraum sind, erkennst Du daran, dass ja alle drei eine Linearkombination der ursprünglich gegebenen Vektoren sind, wie aus der letzten oder auch bereits aus der zweitletzten der von mir angegebenen Matrizen zu erkennen ist.

Du hättest den Gauss-Algorithmus auch noch weiterführen können, um möglichst einfache (was immer das heissen soll) Basisvektoren zu erhalten:

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 & 1 & 2 & ¦ & \vec{a_{1}} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & ¦ & - \vec{a_{1}} + 2 \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \end{array})

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 & ¦ & 2 \vec{a_{1}} - 2 \vec{a_{2}} - \vec{a_{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & ¦ & - \vec{a_{1}} + 2 \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & ¦ & - \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} \end{array})

Als Basis dann die in der letzten Matrix ersichtlichen Zeilenvektoren wählen.

Ist es nun ein Wenig klarer?

Gruss

Paul

pwmeyer aktiv_icon

09:28 Uhr, 29.03.2014

Hallo,

ein Hinweis zur Vermeidung von Irrtümern: Man kann diese Aufgabe lösen, indem man das GaussVerfahren auf die Vektoren als SPALTEN oder als ZEILEN ansetzt.

Paulus hat das mit Zeilen gemacht und erklärt. Eine eventuelle Musterlösung könnte anders aussehen.

Gruß pwm

Zimtos aktiv_icon

19:02 Uhr, 29.03.2014

Schonmal vielen Dank euch allen :-)

Also ich habe es jetzt so verstanden, dass es egal ist, welche Vektoren ich nehme, solange ich nicht mehr nehme, als die Dimension des Raumes ist und das habe ich dann ja mit dem Gauss rausbekommen. Ich kann mir also von den ursprünglichen die Anzahl rauspflücken oder jeweils die Zeilen (bzw. Spalten) aus dem Gauss nehmen. Soweit alles richtig?

Nun habe ich dazu aber noch eine konkrete Aufgabe, die mich da noch durcheinander bringt. Habe Sie im Anhang

+

Lösung aus meinem Tutorium.

Hier haben Sie die Vektoren auch in Spalten geschrieben, aber scheinbar sind Vektor

v 2

und

v 3

linear voneinander abhängig? Weshalb nur

< V 1, v 2, v 4 >

oder

< v 1, v 2, v 3 >

eine Basis sind,

< v 1, v 2, v 3 >

aber nicht?

Dann darf ich mir also nicht irgendwelche rauspicken? Nur wenn die Zeilenstufenform wie eine Treppe ist und nicht 2 auf der selben Stufe sind? Und wie kann ich das ablesen, wenn ich die Vektoren in Zeilen statt Spalten schreibe?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1155132

1154989

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?