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Welche Relationen sind transitiv

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Relation.

Hiho12345 aktiv_icon

12:58 Uhr, 23.11.2023

Ich habe die folgenden Relationen. Welche sind transitiv
Hier sind die

16

möglichen Relationen auf der Menge

{1, 2} :

1. Die leere Relation:

{}

2. Die Gleichheitsrelation:

{(1, 1), (2, 2)}

3. Die Ungleichheitsrelation:

{(1, 2), (2, 1)}

4. Die volle Relation:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

5. Die Teilmenge von

{(1, 1)}

6. Die Teilmenge von

{(2, 2)}

7. Die Teilmenge von

{(1, 1), (2, 2)}

8. Die Teilmenge von

{(1, 2)}

9. Die Teilmenge von

{(2, 1)}

10

. Die Teilmenge von

{(1, 1), (2, 1)}

11

. Die Teilmenge von

{(1, 2), (2, 2)}

12

. Die Teilmenge von

{(1, 1), (1, 2)}

13

. Die Teilmenge von

{(2, 1), (2, 2)}

14

. Die Teilmenge von

{(1, 1), (2, 2), (2, 1)}

15

. Die Teilmenge von

{(1, 2), (2, 1), (2, 2)}

16

. Die Identitätsrelation:

{(1, 1), (2, 2)}

Transitiv : aus xRy und yRz folgt xRz aber wie macht man das mit Zahlen

Hiho12345 aktiv_icon

14:01 Uhr, 23.11.2023

Meine Überlegung war, dass

1,4,5,6

transitiv sind

Stimmt das

Roman-22

18:37 Uhr, 23.11.2023

>

Meine Überlegung war, dass

1,4,5,6

transitiv sind
Ja, schon, aber nicht nur. Warum zB #7 nicht?

Transitiv bedeutet doch nur, dass WENN

(a; b) \in R

UND

(b; c) \in R,

DANN immer auch

(a; c) \in R

.

Wenn sich keine zwei Paare

(a; b)

und

(b; c),

finden lassen, dann ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt.

Und was genau geht dir etwa bei #12 oder #13 ab, sodass du diesen Relationen die Transitivität absprichst?

So wie ich das auf die Schnelle sehe scheinen nur zwei der

16

Relationen nicht transitiv zu sein.

Hiho12345 aktiv_icon

13:05 Uhr, 24.11.2023

Aber wieso ist

(1,1); (2,2)

transitiv

Roman-22

13:22 Uhr, 24.11.2023

"Wenn sich keine zwei Paare

(a; b)

und

(b; c),

finden lassen, dann ist diese Bedingung trivialerweise erfüllt."

Hiho12345 aktiv_icon

13:28 Uhr, 24.11.2023

Aber einmal ist

b = 1

und

b = 2

. darf das

ledum aktiv_icon

13:35 Uhr, 24.11.2023

Hallo
zu(1,1) gibt es doch kein

(1, c)

eben nur

(1,1)

dasselbe mit

(2,2)

ledum

HAL9000

13:39 Uhr, 24.11.2023

@Hiho12345

Deine Auflistung lässt eine konsequente Systematik vermissen: Es gibt tatsächlich

2^{4} = 16

verschiedene Relationen, aber du hast

{(1, 1), (2, 2)}

gleich dreimal gelistet (2.,7.,16.), dafür fehlen dann aber die zwei Relationen

{(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

{(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

Hiho12345 aktiv_icon

14:25 Uhr, 24.11.2023

Oh stimmt. Aber wie ist das andere also wie sind die zum Teil transitiv warum
Ich verstehe nichtswürdig

1,1 2,2

transitiv sein kann

Roman-22

15:36 Uhr, 24.11.2023

In der Menge

{(1; 1); (2; 2)}

gibt es keine zwei Paare, die man "hintereinanderschalten" könnte, so wie zB

(3; 5)

und

(5; 7)

oder so wie

(8; - 4)

und

(- 4; 12)

.
Und die Transitivität besagt nur, dass, WENN es zwei solche Paare gibt, dann muss auch das Paar, das aus dem "Anfangswert" des ersten und dem "Endwert" des zweiten besteht in der Relation sein.

In der Relation

{(1; 1); (2; 2)}

gibt es aber keine zwei Paare, die man "hintereinanderschalten" könnte, daher gibt es auch keine Forderung, dass irgend ein anderes Paar noch in der Relation sein müsste und die Voraussetzung für Transitivität ist eben dadurch erfüllt.

Genauer gesagt gibt es in dieser Relation sehr wohl Elemente, die man hintereinanderstückeln könnte, nämlich jedes Element mit sich selbst.
Transititivät bedeutet also, weil

(1; 1) \in R

und

(1; 1) \in R,

daher muss auch

(1; 1) \in R

sein und das ist ja trivialerweise der Fall.

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