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Welche Teilmenge bildet einen Unterraum?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Abgeschlossenheit, Unterraum, Unterräume eines Vektorraums, Vektorraum

 
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--MoC--

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22:10 Uhr, 27.10.2010

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Hallo allerseits,

ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe:

Sei V der R-Vektorraum RR aller Abbildungen R->R. Welche der folgenden Teilmengen von V bilden einen Unterraum? (mit Begründung)

(i) {f∈V∣f(3)=0}
(ii) {f∈V∣f(7)=f(1)}
(iii){f∈V∣f(a)≥0∀a∈R}
(iv) {f∈V∣f(-a)=-f(a)∀a∈R}

meine Fortschritte bis dahin würde ich selber gerne verstehen :-D)
Ich hab wie immer alles alleine erarbeitet und bin da etwas unsicher. Außerdem würde ich ein wenig Ausführliche Beschreibung sehr begrüßen :-)
Auch korrektur bzgl. der Ausrucksweise würde mich sehr freuen.
DANKE :-)

Vorab ich habe bisher folgenden Vermutung:
i = ja; ii = ja; iii = nein; iv = bisher kein Ergebnis

Beweis

1- f darf nicht leere Menge sein, und muss die 0 enthalten
2- f muss bzgl. der Addition abgeschlossen sein
3- f muss bzgl. der Multiplikation abgeschlossen sein


(i) Ich denke das ist ein Vektorraum da er alle Abbildungen erfasst für die gilt f(3)=0
Damit ist die 1- durch die Bedingung bereits erfüllt
2- & 3- gilt auch:
f(3)(a1+a2} = a1*f(3)+a2*f(3) = 0
was wieder element von f ist. Damit abgeschlossen


(ii) Ich denke das auch das ein Vektorraum ist, da er alle Abbildungen erfasst für die gilt f(7) ist auch f(1)
Die 1- gilt da damit nicht ausgeschlossen ist dass es sich hierbei um eine Abbildung auf 0 handelt. Es könnte also f(7) = f(3) = 0 sein.

An dieser Stelle bin ich bereits ein wenig verwirrt, da jede 0-Abbildung doch bereits abgeschlossen bzgl. +,* ist.
Aber wenn ich das mal prüfe mit
f(7)(a1+a2} = a1*f(7)+a2*f(7) = a1*f(1)+a2*f(1) Ist das so gültig? Oder sollte es da heißen dass keine Angaben über das Vielfache von f(7) gemacht wurden und es deswegen die Bedingung nicht erfüllt?

(iii)
Hier habe ich einfach ein Gegenbeispiel für die Multiplikation gemacht falls x1,2∈R<0. Also
f(a)*(x1+x2} = x1*f(a)+x2*f(a)<0

(iv) Hier habe ich keinen Ansatzt


Ich würde mich sehr über Hilfe freuen und mich interessieren die Antwort auch längerfristig :-)

Danke im Vorraus

mfg
MoC



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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Antwort
OmegaPirat

OmegaPirat

09:31 Uhr, 28.10.2010

Antworten
zu 1:
Du musst zwei verschiedene Elemente des Unterraums nehmen. Diese kannst du per Linearkombination zu einer neuen Funktion zusammenfügen.
Also h(x)=a1⋅f(x)+b2⋅g(x)
damit f(x) und g(x) in der Teilmenge enthalten sind muss f(3)=g(3)=0
⇒h(3)=a1⋅f(3)+b2⋅g(3)=0⇒h(x) ist ebenfalls ein Element der Teilmenge.


zu 2:
Dies läuft hier ganz analog. Also:
h(x)=a1⋅f(x)+a2⋅g(x)
nun gilt f(7)=f(3) und g(7)=g(3)
⇒
h(3)=a1⋅f(3)+a2⋅g(3)=a1⋅f(7)+a2⋅g(7)=h(7)⇒h ist auch ein Element der Untermenge

Um zu zeigen, dass es sich nicht um die Nullmenge handelt, musst du lediglich eine Funktion finden für die f(3)=f(7) gilt

zu 4:
f(x)=x ist ein Beispiel, welches die Bedingung f(-a)=-f(a)erfüllt.
⇒ Die Teilmenge ist nicht die Nullmenge
nun sei h(x)=a_1*f(x)+a_2*g(x)mit f(-a)=-f(a) und g(-a)=-g(a)
⇒h(-a)=a1⋅f(-a)+a2⋅g(-a)=-a1⋅f(a)-a2⋅g(a)=-(a1⋅f(a)+a2⋅g(a))=-h(a)
⇒h(x) ist ein Elemen der Teilmenge ⇒ Die Teilmenge ist ein Untervektorraum.
Frage beantwortet
--MoC--

--MoC-- aktiv_icon

12:02 Uhr, 28.10.2010

Antworten
Super!
Also diese Erklärung hat mir echt gut geholfen. Jetzt verstehe ich das alles!
vielen Dank