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Hallo,
ich soll die kleinste S.Mengenalgebra auf angeben, wobei die Elemente enthält.
Dann sind auf jeden Fall in A enthalten.
Nun muss aber noch die Vereinigung drin sein. Bedeutet das, dass ich alle bisherigen Elemente (also Mengen) nehme und diese vereinige? Das erscheint mir sinnlos, da dann immer herauskäme. Oder muss ich alle Teilkombinationen betrachten, sprich z.B. , , etc.?
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Hallo,
ja, Du musst alle möglichen Kombinationen von Ereignissen vereinigen.
Gruß pwm
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Wenn man neben Komplementen und Vereinigungen die via ebenfalls drin liegenden Durchschnitte berücksichtigt, sollte ziemlich schnell klar sein, dass im vorliegenden Fall die Potenzmenge von sein muss.
P.S.: Es gilt übrigens folgendes für eine solche von einem System von Teilmengen von erzeugte Algebra bzw. Sigma-Algebra :
Ist endlich mit , so ist auch endlich mit , wobei sowie auch gilt. Der Maximalwert kann erreicht werden, sofern gilt und das Mengensystem darauf speziell konstruiert wird.
Im vorliegenden Beispiel sehen wir jenen Maximalfall für die Parameter und .
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Okay.
Und angenommen, man hat von zwei Elementen (also Mengen) z.B. den Durchschnitt gebildet hat (der liegt dann wieder in ) und von zwei anderen die Vereinigung. Muss man von diesen zwei neuen Elementen wiederum den Durchschnitt und Vereinigung bilden usw.? Denn wenn man das handschriftlich macht, verliert man relativ leicht (gerade bei größeren s) den Überblick.
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Systematisch (aber ggfs. ziemlich zeitraubend) kann man bei einem vorgegebenen endlichen Erzeugendensystem so vorgehen:
Man betrachtet ALLE (!) Durchschnitte von Mengenauswahlen . (*)
das sind stolze Stück. Alle darunter vorkommendenn leeren Menge wirft man weg. Am Ende hat man dann davon paarweise disjunkte Mengen übrig, deren beliebige Vereinigungen von bis Stück schließlich die von erzeugte Algebra bilden, die hier übrigens gleich der erzeugten Sigma-Algebra ist.
Das klappt wohlgemerkt so nur für alle endlichen , aber um mehr geht es momentan ja auch nicht.
Am vorliegenden Beispiel mal durchexerziert: mit und :
Das rechts sind nun die Schnittmengen, von denen ich in (*) sprach. Wie man sieht, haben wir unserem Beispiel keine leere Mengen unter diesen Durchschnitten, daher ist hier tatsächlich sogar . Generell gilt aber nur , wobei man im Fall eben auf leere Mengen treffen wird.
Über die Vereinigungen aller Einzelmengen kommt man dann natürlich an die Potenzmenge von .
Diesen so beschriebenen Prozess kann man ggfs. abkürzen, wenn etwa bereits im Erzeugendensystem gewisse Disjunktheiten zu beobachten sind: Gilt etwa , dann muss man sämtliche Durchschnitte überhaupt nicht mehr betrachten, da die garantiert alle leer sind - usw.
Eine Dünnbrettbohr-Regel, die zugleich allgemeingültig ist aber auch sehr wenig Aufwand erfordert, gibt es hier nicht.
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Ein zweites (wenn auch verwandtes) Beispiel: mit und .
Mit scharfem Blick erkennt man , d.h., Menge liegt bereits in der von erzeugten Algebra und kann daher aus dem Erzeugendensystem auch entfernt werden, weil ihre Anwesenheit die erzeugte Algebra auch nicht mehr verändert.
Weiter wie oben
Diese vier Mengen bilden nun bzgl. der damit möglichen Vereinigungen die erzeugte Algebra, die diesmal aber eben NICHT die Potenzmenge von ist. Kennzeichnend für alle endlichen Algebren ist diese Partitionierung des Grundraums in disjunkte Cluster: Alle Mengen der Algebra enthalten von einem konkreten Cluster nur alle oder aber keine Elemente. D.h., im vorliegenden Beispiel gibt es z.B. keine Menge in der Algebra, die zwar 2 aber nicht 7 enthält.
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Abschließend ein drittes Beispiel, welches sich vom zweiten nur durch ein anderes unterscheidet, nämlich . Diesmal gibt's die Abkürzung nicht, wir bekommen
Die beiden leeren Mengen werfen wir weg, es verbleibt die sechs Elemente umfassende Clusterung
,
welche auf eine erzeugte Algebra vom Umfang führt, auch nicht die volle Potenzmenge.
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Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Müsste ich aber die Durchschnitte mit nicht noch berücksichtigen?
Nehme ich z.B. und . Dann erhalte ich
Wenn ich die vier Mengen jeweils vereinige, erhalte ich (ohne Dopplung): 2-elementig: 3-elementig: 4-elementig:
Das sind jedoch 15 Elemente. Und mit 17 16.
Müsste die kleinste -Algebra nicht aus Elementen bestehen?
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Den letzten Durchschnitt hast du falsch berechnet: Es ist
.
Zudem hast du nur Vereinigungen von 1 bis 4 dieser Mengen betrachtet, aber die 0-Vereinigung vergessen (das ist nämlich die leere Menge ).
Was die Lage dann ändert, und dein Einwand wandert komplett in die Mülltonne.
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Spitze, jetzt komme ich auch auf 16 Elemente (inkl. und seinem Komplement). Vielen Dank!!
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Das ist übrigens die Basiskontrolle für eine ENDLICHE (Sigma-)Algebra: Ihre Mächtigkeit MUSS zwangsläufig immer eine Zweierpotenz sein. Dabei gilt stets sowohl als auch , wenn die Mächtigkeit des Erzeugendensystems ist.
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