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Welche Vereinigungen bei kleinster Sigma-Algebra?

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie, Sigma Algebra

 
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peacemen

peacemen

20:25 Uhr, 18.04.2020

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Hallo,

ich soll die kleinste S.Mengenalgebra A~ auf Ω={1,2,3,4} angeben, wobei A~ die Elemente {2,3},{3,4} enthält.

Dann sind auf jeden Fall Ω,,{2,3},{2,3}C,{3,4},{3,4}C in A enthalten.

Nun muss aber noch die Vereinigung iAi drin sein.
Bedeutet das, dass ich alle bisherigen Elemente (also Mengen) nehme und diese vereinige? Das erscheint mir sinnlos, da dann immer Ω herauskäme.
Oder muss ich alle Teilkombinationen betrachten, sprich z.B. {2,3}{3,4}C, {2,3}{3,4}, etc.?
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pwmeyer

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19:34 Uhr, 19.04.2020

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Hallo,

ja, Du musst alle möglichen Kombinationen von Ereignissen vereinigen.

Gruß pwm
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HAL9000

HAL9000

10:05 Uhr, 20.04.2020

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Wenn man neben Komplementen und Vereinigungen die via (UcVc)c=UV ebenfalls drin liegenden Durchschnitte berücksichtigt, sollte ziemlich schnell klar sein, dass im vorliegenden Fall A~ die Potenzmenge von Ω sein muss.


P.S.: Es gilt übrigens folgendes für eine solche von einem System S von Teilmengen von Ω erzeugte Algebra bzw. Sigma-Algebra A~:

Ist S endlich mit S=n, so ist auch A~ endlich mit A~=2m, wobei m2n sowie auch mΩ gilt. Der Maximalwert m=2n kann erreicht werden, sofern Ω2n gilt und das Mengensystem A~ darauf speziell konstruiert wird.

Im vorliegenden Beispiel sehen wir jenen Maximalfall für die Parameter n=2 und m=2n=4.

peacemen

peacemen

12:49 Uhr, 21.04.2020

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Okay.

Und angenommen, man hat von zwei Elementen (also Mengen) z.B. den Durchschnitt gebildet hat (der liegt dann wieder in A~) und von zwei anderen die Vereinigung. Muss man von diesen zwei neuen Elementen wiederum den Durchschnitt und Vereinigung bilden usw.? Denn wenn man das handschriftlich macht, verliert man relativ leicht (gerade bei größeren Ωs) den Überblick.
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HAL9000

HAL9000

15:27 Uhr, 21.04.2020

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Systematisch (aber ggfs. ziemlich zeitraubend) kann man bei einem vorgegebenen endlichen Erzeugendensystem S={A1,,Am} so vorgehen:

Man betrachtet ALLE (!) Durchschnitte B1B2Bm von Mengenauswahlen Bk{Ak,Akc}. (*)

das sind stolze 2m Stück. Alle darunter vorkommendenn leeren Menge wirft man weg. Am Ende hat man dann davon n paarweise disjunkte Mengen C1,,Cn übrig, deren beliebige Vereinigungen von 0 bis n Stück schließlich die von S erzeugte Algebra bilden, die hier übrigens gleich der erzeugten Sigma-Algebra ist.

Das klappt wohlgemerkt so nur für alle endlichen S, aber um mehr geht es momentan ja auch nicht.


Am vorliegenden Beispiel mal durchexerziert: m=2 mit A1={2,3} und A2={3,4}:

A1A2={3}
A1A2c={2}
A1cA2={4}
A1cA2c={1}

Das rechts sind nun die 2m=22=4 Schnittmengen, von denen ich in (*) sprach. Wie man sieht, haben wir unserem Beispiel keine leere Mengen unter diesen Durchschnitten, daher ist hier tatsächlich sogar n=2m. Generell gilt aber nur n2m, wobei man im Fall n<2m eben auf leere Mengen treffen wird.

Über die Vereinigungen aller Einzelmengen kommt man dann natürlich an die Potenzmenge von Ω.


Diesen so beschriebenen Prozess kann man ggfs. abkürzen, wenn etwa bereits im Erzeugendensystem S gewisse Disjunktheiten zu beobachten sind: Gilt etwa A1A2=, dann muss man sämtliche Durchschnitte A1A2B3Bm überhaupt nicht mehr betrachten, da die garantiert alle leer sind - usw.

Eine Dünnbrettbohr-Regel, die zugleich allgemeingültig ist aber auch sehr wenig Aufwand erfordert, gibt es hier nicht.

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Ein zweites (wenn auch verwandtes) Beispiel: Ω={1,2,3,4,5,6,7} mit A1={1,3,5},A2={1,6} und A3={3,5} .

Mit scharfem Blick erkennt man A1A2c=A3, d.h., Menge A3 liegt bereits in der von {A1,A2} erzeugten Algebra und kann daher aus dem Erzeugendensystem auch entfernt werden, weil ihre Anwesenheit die erzeugte Algebra auch nicht mehr verändert.

Weiter wie oben

A1A2={1}

A1A2c={3,5}

A1cA2={6}

A1cA2c={2,4,7}

Diese vier Mengen bilden nun bzgl. der damit möglichen 24=16 Vereinigungen die erzeugte Algebra, die diesmal aber eben NICHT die Potenzmenge von Ω ist. Kennzeichnend für alle endlichen Algebren ist diese Partitionierung des Grundraums in disjunkte Cluster: Alle Mengen der Algebra enthalten von einem konkreten Cluster nur alle oder aber keine Elemente. D.h., im vorliegenden Beispiel gibt es z.B. keine Menge in der Algebra, die zwar 2 aber nicht 7 enthält.

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Abschließend ein drittes Beispiel, welches sich vom zweiten nur durch ein anderes A3 unterscheidet, nämlich A3={2,3}. Diesmal gibt's die Abkürzung nicht, wir bekommen

A1A2A3=
A1A2A3c={1}
A1A2cA3={3}
A1A2cA3c={5}
A1cA2A3=
A1cA2A3c={6}
A1cA2cA3={2}
A1cA2cA3c={4,7}

Die beiden leeren Mengen werfen wir weg, es verbleibt die sechs Elemente umfassende Clusterung

{1},{2},{3},{5},{4,7},{6} ,

welche auf eine erzeugte Algebra vom Umfang 26=64 führt, auch nicht die volle Potenzmenge.

peacemen

peacemen

16:34 Uhr, 21.04.2020

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Müsste ich aber die Durchschnitte mit Ω nicht noch berücksichtigen?

Nehme ich z.B. Ω={1,2,3,4,5} und A1={1,2},A2={2,3}.
Dann erhalte ich
A1A2={2}
A1cA2={3}
A1A2c={1}
A1cA2c={4}

Wenn ich die vier Mengen jeweils vereinige, erhalte ich (ohne Dopplung):
2-elementig: {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}
3-elementig: {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}
4-elementig: {1,2,3,4}

Das sind jedoch 15 Elemente. Und mit Ω, 17 16.

Müsste die kleinste σ-Algebra nicht aus 24=16 Elementen bestehen?
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HAL9000

HAL9000

07:43 Uhr, 22.04.2020

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Den letzten Durchschnitt hast du falsch berechnet: Es ist

A1cA2c={3,4,5}{1,4,5}={4,5}.

Zudem hast du nur Vereinigungen von 1 bis 4 dieser Mengen betrachtet, aber die 0-Vereinigung vergessen (das ist nämlich die leere Menge ).


Was die Lage dann ändert, und dein Einwand wandert komplett in die Mülltonne.
peacemen

peacemen

11:40 Uhr, 22.04.2020

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Spitze, jetzt komme ich auch auf 16 Elemente (inkl. Ω und seinem Komplement).
Vielen Dank!!
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HAL9000

HAL9000

22:35 Uhr, 22.04.2020

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Das ist übrigens die Basiskontrolle für eine ENDLICHE (Sigma-)Algebra: Ihre Mächtigkeit MUSS zwangsläufig immer eine Zweierpotenz 2m sein. Dabei gilt stets sowohl mΩ als auch m2n, wenn n die Mächtigkeit des Erzeugendensystems ist.