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Welche der vielen Normdefinitionen nimmt man?

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Sonstiges

Tags: Matrix, Matrixnorm, Norm, Sonstiges

tommy40629 aktiv_icon

15:22 Uhr, 30.08.2013

Hi,

habe alles unten ins Bild geschrieben.

Ich weiß am Ende nicht, welche der vielen Vektornormen ich für ||x|| nehmen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Sina86

17:03 Uhr, 30.08.2013

Hallo,

was genau ist denn die Fragestellung? Sollst du die Matrixnorm bestimmen? Es gibt da keine einheitliche Regelung, woran man erkennt, welche Norm verwendet wird. Das sollte eigentlich aus dem Kontext klar sein. Wenn jedoch nichts anderes gesagt wird, dann würde ich davon ausgehen, dass die euklidische Norm verwendet wird.

Viele Grüße
Sina

tommy40629 aktiv_icon

17:28 Uhr, 30.08.2013

Ich wollte einfach die Definition anwenden, mit der Matrix und dem Vektor im Bild.

Also wenn das in der NK drankommt, dann muss dazustehen, welche Norm man nehmen muss, ich hoffe die schreiben es dann auch dazu.

Da hier keine Angaben sind, nehme ich einfach die euklidisch Norm.

Apfelkonsument aktiv_icon

20:24 Uhr, 30.08.2013

Mal eine ganze andere Frage:

Wie kommst du dazu, für

x

speziell den Vektor

(2, 1)^{T}

einzusetzen?

matheleia aktiv_icon

21:58 Uhr, 30.08.2013

In endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent, d.h.
Sei

∥ . ∥

und

∣ ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣

eine Norm auf

ℝ^{n}

, dann existieren

m, M \in ℝ^{+} - {0}

so, dass:

m ∥ x ∥ \leq ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ \leq M ∥ x ∥

für alle

x \in ℝ^{n}

Es kann somit jede bliebige Norm genommen werden. Andere Normen unterscheiden sich nur um eine Konstante in der obigen Ungleichung in jedem Element.

Nimm beispielsweise die euklidische, so unterscheidet sie sich um eine Konstante in der obigen Ungleichung von den anderen Normen.

Sina86

23:55 Uhr, 30.08.2013

@matheleia

Ich verstehe nicht genau was du damit meinst, dass sich Normen nur bis auf eine Konstante unterscheiden... Nimm z.B. den Vektoren

(2, 1)^{T}

und

(2, 0)^{T}

und betrachte die euklidische Norm

∥ \cdot ∥_{2}

und die Maximumsnorm

∥ \cdot ∥_{\infty}

. Dann gibt es kein

λ \in ℝ^{> 0}

, so dass

∥ (2, 1)^{T} ∥_{2} = λ ∥ (2, 1)^{T} ∥_{\infty}

und

∥ (2, 0)^{T} ∥_{2} = λ ∥ (2, 0)^{T} ∥_{\infty}

gilt.

Darüber hinaus induziert die euklidische Norm die Spektralnorm und die Maximumsnorm die Zeilensummennorm, und die sind sicherlich nicht gleich. Daher kann es gar nicht egal sein, welche Norm verwendet wird...

@tommy40629

Was ist NK? Nachklausur? Wenn das ohne weitere Kommentare in der Klausur vorkommst fragst du am besten nach ;-) Ansonsten ist es die Standardnorm.

Aber Apfelkonsument hat mit seinem Hinweis schon Recht, du kannst nicht einfach irgendeinen Vektor für

x

einsetzen. Sondern du musst den Vektor suchen, für den der Bruch

\frac{∥ A x ∥}{∥ x ∥}

maximal wird. Du kannst dich dabei auch auf normierte Vektoren beschränke, denn es gilt

sup_{x \neq 0} \frac{∥ A x ∥}{∥ x ∥} = sup_{∥ x ∥ = 1} ∥ A x ∥

Beste Grüße
Sina

Apfelkonsument aktiv_icon

03:42 Uhr, 31.08.2013

Hallo Sina,

Aquivalenz der Normen

∣ ∣ . ∣ ∣_{1}

und

∣ ∣ . ∣ ∣_{2}

(ich meine hier beliebige Normen, nicht die 1- und 2-Norm) bedeutet nicht, dass es Konstanten

c > 0

und

C > 0

gibt mit

c ∣ ∣ x ∣ ∣_{1} = ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

und

C ∣ ∣ x ∣ ∣_{2} = ∣ ∣ x ∣ ∣_{1}

für alle

x

des betrachteten Raums. Es müssen nur die Ungleichungen gelten:

c ∣ ∣ x ∣ ∣_{1} \leq ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

und

C ∣ ∣ x ∣ ∣_{2} \leq ∣ ∣ x ∣ ∣_{1}

. Hat man eine solche Äquivalenz von Normen, ist es natürlich nicht egal, für welche der Normen man sich interessiert, wenn es einem wirklich darauf ankommt, den Vektoren eine Länge zuzuordnen. Dies kann man damit nicht von einer auf eine andere Norm übertragen. Allerdings induzieren äquivalente Normen die gleiche Topologie und damit den gleichen Konvergenzbegriff. Deswegen ist es, wenn es einem nur auf diese Dinge ankommt, egal, welche der äquivalenten Normen man nimmt.

Ein kleines Beispiel:

Wir sind im

ℝ^{2}

mit einer speziellen Norm

∣ ∣ . ∣ ∣_{ℝ^{2}}

und möchten zeigen, dass hier aus der stetig partiellen Differenzierbarkeit sofort die Fréchet-Differenzierbarkeit folgt. Wir haben den Beweis fast beendet und müssen nurnoch zeigen, dass aus

lim_{h \to 0} \frac{r_{1} (h)}{∣ h ∣} = 0

und

lim_{k \to 0} \frac{r_{2} (k)}{∣ k ∣} = 0

(beide Limiten werden hier in

ℝ

gebildet), bereits folgt, dass

lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{r_{1} (h) + r_{2} (k)}{∣ ∣ (h, k) ∣ ∣_{ℝ^{2}}} = 0

. Nun ist unsere Norm auf dem

ℝ^{2}

aber ganz allgemein, also können wir da erstmal keine Aussage machen. Jetzt kommt aber die Äquivalenz von Normen ins Spiel. Wir wissen, dass auf dem

ℝ^{n}

alle Normen äquivalent sind. Deswegen können wir uns eine von diesen Normen aussuchen, unsere Aussage mit dieser Norm zeigen und wissen dann, dass sie trotzdem genauso für die andere Norm gilt, weil beide eben den gleichen Konvergenzbegriff herbeiführen. In diesem Fall nehmen wir uns also einfach die 1-Norm und erhalten

lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{r_{1} (h) + r_{2} (k)}{∣ ∣ (h, k) ∣ ∣_{ℝ^{2}}} = lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{r_{1} (h) + r_{2} (k)}{∣ h ∣ + ∣ k ∣}

, wo man sofort sieht, dass die Behauptung stimmt.

Ich hoffe das hat dir diesbezüglich weitergeholfen.

Sina86

10:20 Uhr, 31.08.2013

Hallo Apfelkonsument,

was du über äquivalente Normen im Zusammenhang mit induzierter Topologie und gleichem Konvergenzbegriff schreibst, stimmt natürlich. Aber da sich die Frage um induzierte Matrixnormen dreht, kann man nicht einfach ignorieren, welche Norm man verwendet... Ich hoffe du stimmst mir zu ;-)

Daher sollte die Normenäquivalenz hier erst mal gar keine Rolle spielen.

Viele Grüße
Sina

Apfelkonsument aktiv_icon

12:11 Uhr, 31.08.2013

Ja sicher, da stimme ich dir zu. Ich hatte das als kleinen Exkurs gesehen. Deiner Antwort nach zu urteilen ist dir dieses Konzept aber bereits bekannt. Da bin ich wohl ins Fettnäpfchen getreten und wollte mich dafür entschuldigen :-)

Ich wünsche ein schönes Wochenende.

Sina86

13:40 Uhr, 31.08.2013

"...und wollte mich dafür entschuldigen :-)"

dafür nicht ;-)

Dir auch ein schönes Wochenende!

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