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Welcher Kegelschnitt mit Gleichung beschrieben?

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Vektor, Vektoren im Raum, Vektorgeometrie

underworld000 aktiv_icon

17:25 Uhr, 16.03.2015

Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe die wie folgt lautet:
1: Welcher Kegelschnitt wird durch die Gleichung x²-y²-2x=0 beschrieben?

a)

Kreis;

b)

Ellipse;

c)

Parabel;

d)

Hyperbel.

Und ich habe keine Ahnung wie man das löst, geschweige denn wir hatten es so auch noch nie in der Hochschule. Meine Prof ist sowieso mehr "krank" und nicht da, als das sie da ist.

Für eure Hilfe bin ich unendlich dankbar!!!!

Liebe Grüße

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Atlantik aktiv_icon

18:08 Uhr, 16.03.2015

x^{2} - y^{2} - 2 x = 0

x^{2} - 2 x - y^{2} = 0 | + {(\frac{- 2}{2})}^{2} = 1

x^{2} - 2 x + 1 - y^{2} = 1

{(x - 1)}^{2} - y^{2} = 1

ist eine Hyperbel.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

underworld000 aktiv_icon

19:48 Uhr, 16.03.2015

Hallo und vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Aber wie kommst du zu dem Ansatz, und woran erkennst du am Ende, welche Figur das ist?Wie ganz am Anfang von mir geschrieben, weiß ich überhaupt nicht, welcher Lösungsweg gefordert ist? Und ich weiß auch nicht wie der Lösungsweg dann aussieht? Wie geschrieben, wir hatten das meines Wissens nach nicht während des Unterrichts bzw. in der Übung?!

Und vielleicht weißt du wie man das bei jeder Figur feststellen bzw. berechnen kann. Gibt es eine allgemeine Formel oder so?

Ich wünsche euch einen schönen Abend! :-)

michaL aktiv_icon

20:03 Uhr, 16.03.2015

Hallo,

man stellt meist eine so genannte Normalform auf. Deren Gleichung(en) sind etwa unter de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Gleichungen_der_Kegelschnitte
angegeben.

Alternativ (irgendwie muss man ja auch darauf kommen) kannst du nun die so genannte Hauptachsentransformation durchführen.

Aus der Gleichung

x^{2} - y^{2} = 1

(Gleichung nach Verschiebung um 1 in

x

-Richtung) wird durch Drehung des Koordinatensystems die Gleichung

(x + y)^{2} - (y - x)^{2} = 1

(Genau genommen ist diese Gleichung nicht nur durch Drehung sondern auch durch Streckung entstanden.)

Diese Gleichung kann aber vereinfacht werden zu

x^{2} + 2 x y + y^{2} - y^{2} + 2 x y - x^{2} = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 4 x y = 1 \overset{}{\Leftrightarrow} y = \frac{1}{4} \frac{1}{x}

, was einer Parabel entspricht. (Der Faktor

\frac{1}{4}

ist oben durch eine Streckung mit 'reingekommen.)

Mfg Michael

Atlantik aktiv_icon

08:02 Uhr, 17.03.2015

y = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x},

was einer Parabel entspricht."

Das ist keine Parabel, es ist auch eine Hyperbel.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

underworld000 aktiv_icon

09:32 Uhr, 17.03.2015

Moin Leute,

Also hab gerade die paar Leute gefragt, die on sind und ich füg die Antworten ein:"Ne Kreis ists nicht, weil noch ein

x

vorkommt, aber ich dachte dann an ellipse"

X 2 - y^{2} - 2 x = 0

ist die gleichung. Im Internet fand ich diese Info: ellipse: x²/a²+y²/b²=1. von hier www.mathematische-basteleien.de/ellipse.htm
Aber dann könnts doch auch keine Ellipse sein, weil wir mit den Quadratzahlen keinen Bruch haben?!

Ich verstehe es immer noch nicht....

Könnt ihr das nicht so erklären, dass auch so ein Dummerle wie ich, das versteht?

: (

michaL aktiv_icon

09:39 Uhr, 17.03.2015

Hallo,

danke, Atlantik. Ich weiß nicht, wo ich mit meinen Gedanken war.
Leider kann man (oder jedenfalls ich) nicht den Text ändern. Also bitte beachten: Hyperbel statt Parabel.

Mfg Michael

PS:

@underworld000:

Wieso keinen Bruch?

x^{2} = \frac{x^{2}}{1}

. Da ist doch ein Bruch. (Deine Probleme sind tiefer gehend.)

Eine Ellipse kann es aus dem Grunde nicht sein, weil dazu das negative Vorzeichen vor

y^{2}

nicht sein dürfte.

Bei der Hauptachsentransformation geht es tatsächlich um die Vorzeichen!
Dazu musst du aus deiner Gleichung (die abgesehen von Verschiebung aber schon in Normalform ist) eine symmetrische Matrix gewinnen und deren Eigenwerte bestimmen.
Daraus kann man schon fast die Normalform ablesen.
All das beschreibt ein Lehrbuch zum Thema Hauptachsentransformation. Es würde zu weit führen, die Theorie hier zu wiederholen.
In deinem Fall (schon Hauptahsentransformiert) ist keine Hauptachsentransformation mehr nötig.

Mfg Michael

underworld000 aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.03.2015

Hallo Michael,

habe heute meine Patentante (ist Grundschullehrerin in Georgien) ob sie Mathelehrer/Profs kennt. und sie hat mir 3 Leute genannt. Hab beide dann gefragt und sie meinten das wäre die Gleichung eines Kresises?! Und dann hab ich sie gefragt ob das wegen dem x² und dem y² so ist, und das hat sie bejaht. Und dann hatte ich noch meine Tante (hat Mathe studiert und lehrt Mathe privat) gefragt, und sie meinte auch Kreis.
Und der Gedanken dass es eine Hyperbbel sein könnte, passt nicht zu dieser Tatsache von einer Parabel: www.antonkriegergasse.at/krem/SCANS/Mathematik/7.Klasse/Analytische%20Geometrie/09%20Hyperbelzusammenfassung.jpg

Und Mathematiqua hat mir über die Hauptachsentransformaqtion geantwortet (hatte sie gefragt ob sie nicht ein Video darüber machen könnte.) : "Da muss ich ehrlich zugeben, dass Hauptachsentransformation nie wirklich meins war. Wir haben das damals nur in ca

15 min

am Rande angesprochen, aber ich habe das gelbe Buch über Lineare Algebra und Geometrie der Uni Stuttgart gelesen (über das ich auch ein Video gedreht habe). Da ist das sehr ausführlich erklärt. Ich kann ein Video über die Basics dazu machen, aber das Thema wirklich im kompletten Umfang zu erklären wird vermutlich nicht machbar sein, tut mir leid" Tjaaa das war auch nichts!

: - (

Könnt ihr mir das nicht schriftlich irgendwie erklären? Bitte, bitte

:' (

In fünf Tagen kommt meine erste Klausur, zwei Tage danach meine zweite.....

Ich stelle hier jetzt meine Fragen zur Kurvendiskussion mit limes und wirklich komplizierten Ableitungen rein.

Ich habe so Angst vor Mathe, und nicht vor einmal Mathe, sondern zwei mal.....

LG

ledum aktiv_icon

01:16 Uhr, 18.03.2015

Hallo
Es gibt 4 Arten von Kegelschnitten. die oben bei dir stehen, sie haben verschiedene geometrische Eigenschaften,
Vorerst brauchst du offensichtlich keine Haupttachsentransformation.
Und deine Tante hat garantiert diesmal unrecht, lass dir das doch al plotten wenn du es nicht gleubst.
wenn die Achsen parallel zur

x - y -

Achse ist haben sie die Form
Kreis:

{(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}

dabei ist

(x_{0}, y_{0})

der Mittelpunkt

Ellipse

\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1

Hyperbel

\frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1

oder

- \frac{{(x - x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1

hier kommt auch nich die um 45° gedrehte vor , die Achsen parallel zur Winkelhalbierenden

y = \frac{a}{x - x_{0}} + y_{0}

Parabel

y = a \cdot {(x - x_{0})}^{2} + y_{0}

(x_0,y_0)=Scheitel
oder die Rolle von

x

und

y

vertauscht.

wenn man die Klammern ausmultipliziert erkennt man das nicht so direkt, aber wenn entweder

x^{2}

oder

y^{2}

negativ sind ist es immer eine Hyperbel !
wenn die klammern ausmultipliziert sind muss man oft umformen meist mit quadratischer ergänzung
so auch bei deiner ersten Gleichung
wenn da stünde

x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0

machst du quadratische Ergänzung du willst zu (x-a)^2=x^2-2ax+a^2
also

x^{2} - 2 \cdot 1 x + 1 - 1 = {(x - 1)}^{2} + 1

ebenso

y^{2} + 2 \cdot 3 y + 3^{2} - 3^{2} = {(y + 3)}^{2} - 9

also ist unsere Gleichung

x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0

umgeformt

{(x - 1)}^{2} - 1 + {(y + 3)}^{2} - 9 - 3 = 0

{(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 13

also ein Kreis mit Mittelpunkt

(1, - 3)

und Radius

\sqrt{13}

Gruß ledum

michaL aktiv_icon

07:05 Uhr, 18.03.2015

Hallo,

@underworld000:

Ich verstehe nicht.
Von Parabel hatte ich irrtümlich geschrieben. Nimm dir die von Atlantik beigefügte(n) Zeichnung(en). Sie zeigen doch aber eindeutig Hyperbeln (einmal in der verschobenen "Normalform", einmal in der eher bekannten gedrehten, allerdings skalierten Form).
Du kannst dich auch selbst davon überzeugen, indem du irgendeinen Funktionenplotter verwendest.
Atlantik z.b. hat geoGebra verwendet. Das ist kostenlos und läuft (auch) unter windows.

Deine anderen Quellen, tut mir leid, das so deutlich sagen zu müssen, sind nichts wert, wenn sie nur anhand der Potenzen auf einen Kreis schließen. Denn dieser Kegelschnitt ist ja nunmal offensichtlich kein Kreis.

Zum Thema Hauptachsentransformation hat ledum alles geschrieben, was man (in aller Kürze und ohne Matrizen zu verwenden) schreiben kann.

Es tut mir sehr leid für dich, dass erstens offenbar mit Mathe auf Kriegsfuß stehst und zweitens in so kurzer Zeit Prüfungen darin hast.
Das wird sich wohl innerhalb einer Woche nicht reparieren lassen...

Ansonsten habt ihr sicher eine Vorlesungsmitschrift oder ein Skript, mindestens aber Literaturhinweise.
Im Netz findest du etwa bei www.mathebibel.de/hauptachsentransformation und de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation geeignete Darstellungen. Aber Vorsicht, ich beurteile die Eignung auf der Grundlage des Inhalts, nicht der Didaktik.

Ohne (selber) Lernen funktioniert Mathe leider nicht. Ich befürchte, du kannst fragen, wen du willst. Wenn er Mathe "gemeistert", d.h. verstanden hat, dann nur durch (anfangs) hartes Lernen (oder eben Genie).

Mfg Michael

underworld000 aktiv_icon

19:49 Uhr, 18.03.2015

Hallo Michael und die anderen,

ja genau das dachte ich auch von den Lehrern die ich über die dargestellte Figur gefragt habe. Aber ok, diese unterrichten eher jüngere Schüler. Und wo ich mich vertan hatte, das hat mir meine Mutter gestern abend gesagt, weil wir darüber geredet hatten, ihre Schwester (meine Tante) hat nicht Kreis zu der Figur gesagt, sie sagte "hyperbola", und auf deutsch ist das eben eine Hyperbel. Ich weiß nicht was ich da falsch verstanden habe und/oder mit den anderen Aussagen der georgischen Lehrer die ich fragte, vermischt habe.
Meine Tante hat in Georgien auch einmal an so einer Matheolympiade oder ich weiß nicht wie ich es beschreiben kann, zumindest war es landesweit so, dass der/die beste Mathematikerin gesucht wurde.
Sie hat den zweiten Platz gemacht, das war so ein Test am Pc, und meine Tante kam mit der Technik im Gegensatz ihres Konkurrenten nicht klar. Der Sieger hat auch nur 3 oder 4 Punkte mehr gehabt.
Ja ich komme auch generell aus einer naturwissenschaftlichen-mathematischen Familie, und das motiviert mich auch ziemlich.

So heute war ich in der Hs bei dem Mathekurs eines anderen Lehrer, ihn konnte man mit Fragen vor der Klausur bombardieren, dies habe ich fleißig gemacht. :-)

Ich wünsche allen hier einen wunderbaren Abend!

:-) LG Ia

underworld000 aktiv_icon

19:49 Uhr, 18.03.2015

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19:49 Uhr, 18.03.2015

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19:49 Uhr, 18.03.2015

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