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Welcher Untervektorraum wird aufgespannt

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Lineare Hülle, Menge, Spann, Untervektorraum

anonymous

18:29 Uhr, 26.05.2024

Hallo,

Ich soll angeben welcher Untervektorraum von meiner Menge (s. Foto) aufgespannt wird. Leider bin ich dabei überfragt wie ich anfangen soll.
Ich habe bereits eine Fallunterscheidung bzgl. linearer Unabhängigkeit und gehe stark davon aus, dass das auch beim Untervektorraum zu beachten ist.

Für r=0 kommt ja nur der Nullvektor raus? Und was ist mit den anderen fällen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

michaL aktiv_icon

18:42 Uhr, 26.05.2024

Hallo,

wenn Matrizen und Determinanten schon bekannt sind, dann würde ich

r = 0

als Fall gesondert betrachten (wie du das schon getan hast und anschließend

r \neq 0

annehmen und die Determinante von

(\begin{array}{rrr} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & r \\ 3 & 2 & r^{2} \end{array})

berechnen.
Die Fälle, in denen die Determinante Null ist, müssen dann nochmal gesondert betrachtet werden.

Mfg Michael

anonymous

19:13 Uhr, 26.05.2024

Danke für die Antwort! Mit Matrizen haben wir leider erst angefangen und hatten noch keine Determinante. Daher muss es wohl auch einen Lösungsweg ohne geben?

michaL aktiv_icon

19:49 Uhr, 26.05.2024

Hallo,

nun, die ersten beiden Spalten sind sicher linear unabhängig. Insofern hat der erzeugte UV mindestens die Dimension 2.

Es stellt sich also die Frage, für welche

r

der dritte Spaltenvektor aus den ersten beiden erzeugt werden kann, für welche

r

es also

λ, μ

(nicht beide Null) gibt, sodass

λ (\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + μ (\begin{array}{r} 6 \\ 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{l} 1 \\ r \\ r^{2} \end{array})

gilt.

Die unteren beiden Komponenten ergeben folgende Gleichungen:

2 λ + 3 μ = r

3 λ + 2 μ = r^{2}

bzw.

4 λ + 6 μ = 2 r

9 λ + 6 μ = 3 r^{2}

, woraus wir durch Subtraktion

5 λ = 3 r^{2} - 2 r

bzw.

λ = \frac{3}{5} r^{2} - \frac{2}{5} r

.

Nach

μ

aufgelöst erhalten wir

μ = \frac{3}{5} r - \frac{2}{5} r^{2}

Nun setzen wir beides in die Gleichung der obersten Komponente ein und erhalten:

1 = λ + 6 μ = \frac{3}{5} r^{2} - \frac{2}{5} r + \frac{18}{5} r - \frac{12}{5} r^{2} = \frac{16}{5} r - \frac{9}{5} r^{2}

(Sofern ich mich nicht doch wieder verrechnet habe.)

Schließlich finden sich über die sich ergebende quadratische Gleichung wohl 2 Werte für

r

, für die die Gleichung erfüllbar ist. (Dann hat der UV die Dimension 2.)
Für alle anderen

r

ist die Gleichung nicht erfüllbar. Für die ergibt sich ein UV der Dimension 3.

Alles keine Zauberei.

Mfg Michael

anonymous

20:34 Uhr, 26.05.2024

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, die hat mir sehr weitergeholfen!
Was ich mich nun noch frage ist, warum ich das r in meinen Rechnungen einfach durch 1 (?) ersetzen bzw. weglassen darf? Ist das eine erlaubt um auf die Lösung zu kommen?

ledum aktiv_icon

00:16 Uhr, 27.05.2024

Es wurde nirgends r=1 gesetzt?
ledum

pwmeyer aktiv_icon

10:53 Uhr, 27.05.2024

Der erste von michal verwendete Vektor sieht schon so aus, als sei dort

r = 1

gesetzt - und bei zweiten

r = 6

.
Ich halte das für erklärungsbedürftig.

michaL aktiv_icon

11:02 Uhr, 27.05.2024

Hallo,

ist die Teilmenge

{u, v, w} \subseteq V

eines

K

-Vektorraums

V

linear (un)abhängig, so auch die Menge

{λ u, μ v, ν w}

für

λ, μ, ν \in K \ {0}

.

Na, da habe ich die Vektoren eben ein bisschen gestaucht/gestreckt, bis mir die Einträge gepasst haben. Sollte das Rechnen erleichtern. (Aber ob das geklappt hat...?)

Mfg Michael

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