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Welches Quotientenkriterium ist richtig?
Universität / Fachhochschule
Tags: Konvergenzradius, Potenzreihe, Quotientenkriterium
 
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Hallo, beim Nachweis des Konvergenzradiuses einer Potenzreihe, da gibt es ja das Quotientenkriterium. Ich habe das Quotientenkriterium aus meinem Script und das aus dem Calculus hochgeladen. Im Script heißt das Quotientenkriterium Euler Das Problem beim Quotientenkriterium (Euler) aus meinem Script ist, dass immer der am schnellsten wachsende Term im Zähler steht und dann weiß man nicht weiter. Bei dem Quotientenkriterium aus dem Calculus steht, wie man sehen kann der am schnellsten wachsende term in Nenner und man kann schön weitermachen. Und ich habe auch im Netz gesehen, dass diejenigen, die dort vorrechnen nicht das Quotientenkriterium nehmen, wie es in meinem Script steht. Alle nehmen das normale Quotientenkriterium, in meinem Script steht aber Euler, mit dem man am Ende hängen bleibt. Aber der Herr Euler war sehr schlau und hat sicher keinen Mist erfunden. Kann man denn einfach das normale Quotientenkriterium nehmen, so wie es die Anderen machen?? Ich bin auch in der Klausur ständig hängengeblieben, weil der schneller wachsende Term dann im Zähler steht und dann weiß man nicht weiter.
  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Hallo tommy, richtig sind beide Verfahren, hier sind die Namen nur etwas durcheinander. Mit dem Quotientenkriterium bestimmt man, ob eine Reihe konvergiert, mit dem Eulerkriterium bestimmt man den Konvergenzradius einer Potenzreihe. Das sind erst einmal zwei vollkommen verschiedene Dinge, jedoch beweist man das Eulerkriterium in der Regel über das Quotientenkriterium, die hängen also irgendwie zusammen. In deinem Beispiel wird das Quotientenkriterium angewendet, um einen Konvergenzradius zu bestimmen, das geht aber nur indirekt. Beim Eulerkriterium geht es direkt. Du kannst ja mal das Eulerkriterium auf dieselbe Potenzreihe wie in deinem Beispiel loslassen und siehst, dass du auf dasselbe Ergebnis kommst. Lieben Gruß Sina |
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Hey Sina, es kommt leider nicht das Gleiche Ergebnis heraus. Bei Euler ist der Grenzwert 1 und beim Quot.Krit. ist der Grenzwert 0. Rechnungen sind unten zu sehen. Wenn bei Euler eine Zahl herauskommt, dann ist diese Zahl ja der Radius. Ist der Grenzwert uneigentlich +oder-oo dann ist auch der Radius + oder -oo. Dann ist Euler schon mal besser.
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konvergiert doch auch gegen eins, denn und nun gehen sowie gegen null für . Allerdings hast du da mal wieder etwas grundlegend falsch verstanden. Das übliche Quotientenkriterium musst du auf die gesamte Folge, über die summiert wird, anwenden. Also Dieser Ausdruck konvergiert für gegen (also ist auch der für gleich . Da das Quotientenkriterium Konvergenz liefert, wenn folgt für deine Potenzreihe Konvergenz für . Festzuhalten ist, dass die "Euler-Formel" mit dem Quotientenkriterium hergeleitet wird. Du kannst also entweder direkt die "Euler-Formel" verwenden oder aber einfach das "normale" Quotientenkriterium (nun aber auf die gesamte Folge also zusätzlich dem anwenden und dann schauen für welche der wird. Bei der "Euler-Formel" hat man das eben einmal allgemein durchgerechnet und kommt so ganz allgemein auf falls dieser Grenzwert denn existieren sollte. Zu solchen Missverständnissen kommt es, wenn man nur Formeln auswendig lernt, sich aber nicht mir ihren Beweisen auseinandersetzt. Achja und was ich grad noch gesehen habe: Bei deinem ersten Bild hast du die Betragsstriche auf die einzelnen Summanden verteilt. Das geht hier zwar, da alle Summanden positiv sind, aber dennoch würde ich dich hier gerne an die Dreiecksungleichung erinnern. Also allgemein gilt und damit eben |
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Ok, Shipwater war schneller ;-) |
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Ok, gut vielen Dank an Euch. Man verwechselt schnell was bei der emensen Menge oder haut Dinge durcheinander. Ich trenne einfach Konvergenz von Reihen und Konvergenzradien. |
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Darf man Fragen wann deine Klausur denn stattfindet? ;-) @ Sina86: Sorry, dass ich oben einfach geantwortet habe. Ich dachte du wärst offline, da neben deinem Usernamen kein Punkt aufgeleuchtet hat. Allerdings hast du das wohl so eingestellt, dass andere gar nicht sehen können, ob du online bist oder nicht. |
