Wendepunkt ausrechnen

Hi! Ich hab zwei Fragen bezüglich des Ausrechnens von Wendepunkten irgendeiner Funktion: Warum muss man das Ergebnis, das man durch lösen von f''(x)=0 ausgerechnet hat noch in die dritte Ableitung einsetzen und auf nicht gleich null prüfen?. Auch frage ich mich, was das denn nun wäre, wenn da mal gleich null raus käme? Danke

Hallo, ich will das nicht hochkompliziert mathematisch erklären, aber anhand einiger einfacher Beispiele das plausibel machen. Zum Einen, noch ohne konkretes Beispiel: Wenn die Funktion einen Wendepunkt hat, dann stellst du praktisch folgendes fest: fährt man dem Grafen der Funktion (von mir aus in einem kleinen Auto sitzend) entlang, dann macht man zum Beispiel eine Linkskurve bis zur Wendestelle. Bei der Wendestelle fährt man praktisch einen kleinen Augenblick geradeaus, um dann sachte in eine Rechtskurve überzugehen. Jetzt könnte es aber auch sein, dass man bei der Stelle, wo es kanz kurz geradeaus geht, nicht in eine Rechtskurve einbiegt, sondern wieder in eine Linkskurve. Schau mal das Beispiel an, und untersuche das an der Stelle x=0: y=x⁴ y'=4x³ y''=12x² y'''=24x y''''=24 Die weiteren Ableitungen sind alle Null Hier geschieht gerade das oben Beschriebene, wenn du eine Autofahrt machst. Andere einfaches Beispiel: y=x⁵ y⁽¹⁾=5x⁴ y⁽²⁾=20x³ y⁽³⁾=60x² y⁽⁴⁾=120x y⁽⁵⁾=120 Die weiteren Ableitungen sind alle Null Versuch das zum Beispiel auch für y=x¹⁰⁰. Das vielleich nur im Kopf, überschlagsmässig. Wann wird zum ersten mal eine Aleitung ungleich Null? Du stellst fest, dass, je höher der Exponent ist, die praktisch gerade Strecke immer länger wird. Du siehst auch, dass: wenn beim ersten mal, wo die Ableitung nicht Null ist, eine ungerade Anzahl mal abgeleitet werden musste, dann gibt es eine n Wendepunkt. wenn man hingegen eine gerade Anzahl mal ableiten musste, dann liegt eine Extremstelle vor. Ich hoffe, das hilft ein Wenig zum Verständnis. mit lieben Grüssen Paul

Hallo, Vielleicht hilft dir auch dieses weiter? Nach Definition hat der Graph einer Funktion an der Stelle x0 einen Wendepunkt, wenn in einer gewissen Umgebung von x0 rechts oder links von dieser Stelle entgegengesetztes Krümmungshalten herrscht. Das Krümmungsverhalten an der Stelle x0 untersucht man Hilfe der zweiten Ableitung. Bei einem Wendepunkt muss daher die 2. Ableitung bei x0 = 0 sein (notwendige Bedingung). Jetzt muss überprüft werden, ob der Graph von der 2. Ableitung die x-Achse schneidet. Dazu berechnen wir die Tangentensteigung an der Stelle x0 mit dem Einsetzen von x0 in die 3. Ableitung. Wenn die 3. Ableitung bei x0 größer oder kleiner Null ist, schneidet der Graph der 2. Ableitung die X-Achse. Damit wäre auch die hinreichende Bedingung für Wendepunkte erfüllt. Wäre die 3. Ableitung bei x0 = 0, würde die x-Achse nicht geschnitten. Grüße Lambert

Danke Euch! Ihr habt mir die ganze Sache verständlich gemacht!