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Wendetangente als Ursprungsgerade

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kurvenschar, Ursprungsgerade, Wendetangente

Giant aktiv_icon

14:45 Uhr, 08.07.2009

Hallo,

ich bearbeite gerade eine Aufgabe, ich bin zwar schon am Ende aber bin mir dennoch unsicher, ob der Beweis ausreicht.

Für

a > 0

ist die Funktionenschar

f_{a}

gegeben durch

f_{a} (x) = a \cdot x^{2} - x^{3}

a)Untersuchen Sie, ob es einen Wert für a gibt, für den die zugehörige Wendetangente eine Ursprungsgerade ist.

b)Zeigen Sie, dass der Wendepunkt einer Scharkurve der Mittelpunkt der Strecke zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt der Kurve ist.

Zuvor haben ich bereits sämtliche Eigenschaften der Kurvenschar bestimmt.

H (\frac{2}{3} a | \frac{4}{27} a^{3})

T (0 | 0)

W (\frac{1}{3} a | \frac{2}{27} a^{3})

a)

f_{a} (x) = a \cdot x^{2} - x^{3}

f_{a}' (x) = 2 \cdot a \cdot x - 3 x^{2}

f_{a}' (\frac{1}{3} a) = 2 \cdot a \cdot (\frac{1}{3} a) - 3 \cdot {(\frac{1}{3} a)}^{2}

= \frac{1}{3} a^{2}

y = m \cdot (x - x_{0}) + y_{o}

y = \frac{1}{3} a^{2} (x - \frac{1}{3} a) + \frac{2}{27} a^{3}

y = \frac{1}{3} a^{2} \cdot x - \frac{1}{27} a^{3}

Das wäre die Wendetangente

U (0 | 0)

einsetzen.

y = \frac{1}{3} a^{2} \cdot 0 - \frac{1}{27} a^{3} = 0

- \frac{1}{27} a^{3} = 0

a = 0

\Rightarrow

Die Kurve

f_{0} (x) = - x^{3}

hat eine waagrechte Wendetangente, welche durch den Ursprung geht.

b)Bei dieser Aufgabe bin ich mir noch eher unschlüssig.

H (\frac{2}{3} a | \frac{4}{27} a^{3}), T (0 | 0)

d (A, B) = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

d (H, T) = \sqrt{{(- \frac{2}{3} a)}^{2} + {(- \frac{4}{27} a^{3})}^{2}}

Gruß Giant

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

BjBot aktiv_icon

15:25 Uhr, 08.07.2009

Ein vorbildlicher Beitrag =)

zu 1)

Eigentlich alles richtig bis auf die Schlussfolgerung, denn für a=0 ist die Schar ja gar nicht definiert ;-)

zu 2)

Joa da kannst du im Prinzip den Mittelpunkt ja direkt wunderbar ablesen weil der Tiefpunkt dankenswerterweise ja der Ursprung selbst ist.

maspi aktiv_icon

15:27 Uhr, 08.07.2009

a)

sehe ich genauso

bei

b)

würde ich mir als erstes eine Geradengleichung aus dem Hoch und Tiefpunkt erstellen.
Dann kann man schauen ob der Wendepunkt auf dieser Geraden liegt. Ist das auch der Fall kann man noch schauen ob die Strecke TW die selbe Länge hat wie die Strecke WH!

Gruß Maike

Giant aktiv_icon

15:45 Uhr, 08.07.2009

Wunderbar, die Beiträge haben mir sehr geholfen

=)

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