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Wendetangenten bei Funktionsschare

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: parallel, Scharkurve, wendestelle, Wendetangente

shiri aktiv_icon

16:02 Uhr, 28.07.2013

Hallo,
ich komm bei folgender Aufgabe übehaupt nicht klar. Sie war Teil meiner letzten Klausur und schon da wusste ich nicht wie ich vorgehen sollte!

Gegeben war die Funktionsschar: fa(x)=

(4 x + a) \cdot e^{- \frac{x}{a}}

Die Aufgaben:

1.Zeige, dass die Wendetangenten an der Wendestelle xw=

\frac{7}{4} a

aller Scharkurven parallel zueinander sind.
2.Bestimme den Parameter a so, dass die Normale im Wendepunkt die y-Achse bei

- 2

schneidet und gib die Gleichung dieser Normalen an.

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Shipwater aktiv_icon

17:29 Uhr, 28.07.2013

Was bedeutet parallel denn für die Steigungen der entsprechenden Tangenten?

shiri aktiv_icon

18:40 Uhr, 28.07.2013

Den ersten Teil der Aufgabe hab ich jetzt verstanden. Die Steigung muss ja die selbe sein.

Für den zweiten Teil hab ich jetzt folgenden Ansatz:

Die Formel für die Normale lautet ja

y = - \frac{1}{m} \cdot x + b

Setze ich

\frac{7}{4} a

in die Ausgangsgleichung ein, erhalte ich für

y

8ae^(-7/4)
Für die Steigung setze ich

\frac{7}{4} a

in die 1.Ableitung und erhalte

- 4 e^{- \frac{7}{4}}

Jetzt setze ich alles in die Formel ein und hab dann 8ae^(-7/4)

= \frac{1}{4 e^{- \frac{7}{4}}} \cdot \frac{7}{4} a + b

.
Ab hier komm ich nicht mehr weiter

Eva88 aktiv_icon

19:22 Uhr, 28.07.2013

Dann verwandel doch

e^{- \frac{7}{4}}

in eine Zahl. Gesucht ist aber die Normale die bei

y = - 2

schneidet.

Atlantik aktiv_icon

15:00 Uhr, 29.07.2013

Ein anderer Weg:

f_{a} (x) = (4 x + a) \cdot e^{- \frac{x}{a}} = f_{a} (x) = \frac{4 x + a}{e^{\frac{x}{a}}}

[\frac{4 x + a}{e^{\frac{x}{a}}}]

´=

\frac{4 \cdot e^{\frac{x}{a}} - (4 x + a) \cdot \frac{1}{a} \cdot e^{\frac{x}{a}}}{{(e^{\frac{x}{a}})}^{2}} = \frac{4 a - 4 x - a}{a \cdot e^{\frac{x}{a}}} = \frac{3 a - 4 x}{a \cdot e^{\frac{x}{a}}}

Da die Tangenten parallel sind setzte ich mal

a = 1

und berechne die Steigung der Wendetangente in

x_{w} = \frac{7}{4}

m_{T} = \frac{3 - 4 \cdot \frac{7}{4}}{e^{\frac{7}{4}}} = - 0,695

m_{N} = 1,439

Punktsteigungsform:

y + \frac{2}{x} = 1,439

Normale:

y = 1,439 x - 2

B

liegt auf

f_{a} (x) : B (\frac{7}{4} a | \frac{4 \cdot \frac{7}{4} a + a}{e^{\frac{7}{4}}}) \to B (\frac{7}{4} a | \frac{8 a}{e^{\frac{7}{4}}}) \to B (\frac{7}{4} a | 1,39 a)

B

liegt auf Normale:

y = 1,439 x - 2 \to 1,39 a = 1,439 \cdot \frac{7}{4} a - 2 \to a = 1,7727

mfG

Atlantik

Z E I C H N U N G

shiri aktiv_icon

01:11 Uhr, 30.07.2013

Vielen Dank, sehr hilfreich. Habs endlich verstanden!

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