Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wenn Nebenklassen gleich, dann Normalteiler

Wenn Nebenklassen gleich, dann Normalteiler

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Nebenklassen, Normalteiler

Sabine2 aktiv_icon

18:52 Uhr, 23.10.2013

Hi,
kann hier mal bitte jemand drüberschauen? ;-)

Sei

H \subset G

eine Untergruppe von G.
Ich möchte gerne zeigen, dass

\forall g \in G g H = H g \Rightarrow H \subset G

ist Normalteiler.

Ich weiß ehrlich gesagr nicht wirklich, was ich zeigen muss, da der Begriff Normalteiler völlig neu ist. Was ich aber auf jeden Fall zeigen muss, ist dass

C_{g (H)} \subset H \forall g \in G

gilt.
Meine Idee:

g H = H g \forall g \in G

heißt ja nicht anderes als

g h = h g \forall g \in G \forall h \in H

.
Also ist für

h \in H : C_{g} (h) = g h g^{- 1} = h {g g}^{- 1} = h e = h

.
Da

h \in H

ist also auch

g h g^{- 1} \in H

. Also ist

C_{g (H)} \subset H

.

Ist

H

damit schon ein Normalteiler? Das

H

eine Untergruppe ist, ist vorausgesetzt, muss also nicht gezeigt werde.

Lieben Gruß,
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 23.10.2013

Hallo,

g H = H g

ist nicht unbedingt elementweise zu verstehen.
Vielmehr bedeutet es:

\forall h \in H \exists h ʹ \in H

g h = h ʹ g

.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

20:02 Uhr, 23.10.2013

Achso, okay. Aber es ändert sich am Beweis dadurch ja nicht viel. Ich muss einige

h \in h'

umwandeln, richtig?
Der Rest ist okay?

michaL aktiv_icon

19:11 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

ja, Rest ist ok.

Man kann auch beweisen, dass die "Rechnung"

g H = H g \overset{}{\Leftrightarrow} g H g^{- 1} = H

erlaubt ist, aber das machst du ja im Prinzip auch.

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

21:39 Uhr, 26.10.2013

Jup, das mache ich.
Kannst du erklären, was der Unterschied zwischen einer Untergruppe und einer Nebenklasse ist?
Und wieso ist

m ℤ := {m \cdot z | z \in ℤ}, m \in ℤ

eine Untergruppe?

michaL aktiv_icon

09:37 Uhr, 27.10.2013

Hallo,

> Kannst du erklären, was der Unterschied zwischen einer Untergruppe und einer Nebenklasse ist?

Ja, sei also

(G, \cdot, e,^{- 1})

eine Gruppe,

U \leq G

(also eine Untergruppe) und

x \in G

.
Dann geht es um den Vergleich zwischen

U

und

x \cdot U := {x \cdot u ∣ u \in U}

x U

ist im allgemeinen keine Untergruppe. Dazu wäre nötig, dass

e \in x U

gilt, d.h. es muss

x^{- 1} \in U \overset{}{\Leftrightarrow} x \in U

gelten. Dann aber ist

x U = e U = U

.
Die Analogie zu

K

-Vektorräumen

(V, +, 0, -, K)

ist eigentlich ganz einprägsam. Ein Untervektorraum

U \leq V

vs. der Nebenklasse

v + U

für ein

v \in V

.
Die "Nebenklasse"

v + U

ist i.a. ein affiner Unterraum. Er ist nur dann ein Unterraum, wenn

0 \in v + U

gilt, d.h. wenn

- v, v \in U

gelten.

> wieso ist mℤ:={m⋅z|z∈ℤ},m∈ℤ eine Untergruppe?

Achtung, du läufst Gefahr, etwas durcheinander zu bringen.

m \cdot ℤ

(Betonung der Multiplikation) ist eine Untergruppe, aber eben eine von

(ℤ, +, 0, -)

, keine von

(ℤ, \cdot, 1,^{- 1})

. Letztere ist ja keine Gruppe, da die Inversen i.a. keine ganzen Zahlen sind.

Insofern ist die Frage eigentlich aus dem Zusammenhang, auf jeden Fall zeigt sie keinen Widerspruch zu der Tatsache, dass für Untergruppen

U

von

(G, \oplus, 0, ⊖)

die Nebenklassen

x \oplus U

eben i.a. KEINE Untergruppen sind.
Du wechselst nämlich die "Gruppen"operation (wobei beachtete werden sollte, dass die ganzen Zahlen mit der Multiplikation nur einen Monoid bilden).

Alles klar?

Mfg Michael

Sabine2 aktiv_icon

18:59 Uhr, 27.10.2013

Alles klar! Jetzt ist es mir klar geworden. Danke!

1121482

1120489

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?