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Wenn U(f,Z)=L(f,Z), dann ist f beschränkt

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Beschränkt, Obersumme, Untersumme

 
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LaDi20

LaDi20 aktiv_icon

10:32 Uhr, 13.04.2022

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Guten Morgen,
ich habe ein kleines Matheproblem und zwar:
Sei f:[a,b]R und Z eine Zerlegung von [a,b]. Nehmen Sie an, U(f,Z)=L(f,Z) und zeigen Sie, dass f beschränkt ist.
(U ist dabei die Obersumme von f bezüglich Z,L die Untersumme)

Mir fehlt da leider schon der Ansatz, weil ich nicht weiß, was ich mit der Information U(f,Z)=L(f,Z) anfangen soll.
Ich würde eigentlich einen Woderspruchsbeweis machen wollen, also annehmen, dass f nicht beschränkt ist auf [a,b]. Würde dann die Gleichheit von Ober- und Untersumme nicht mehr existieren?

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:42 Uhr, 13.04.2022

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Die Untersumme ist (xk-xk-1)infxk-1<x<xkf(x) und die Obersumme ist (xk-xk-1)supxk-1<x<xkf(x). Offensichtlich können sie nur gleich sein, wenn für jedes k gilt infxk-1<x<xkf(x)=supxk-1<x<xkf(x). Und das ist nur möglich, wenn f auf (xk-1,xk] konstant ist. Damit nimmt f nur endlich viele verschiedene Werte. Natürlich ist f damit auch beschränkt.
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