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Wenn n kleiner als k ist?

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Kombinatorik

RosinenStrudel aktiv_icon

16:04 Uhr, 16.06.2021

15 Personen wollen sich auf zwei Autos verteilen. Das eine Auto hat 12 Plätze und das andere hat 6 Plätze.

Vorab: Auswahl ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung.

Mein Problem:

(\begin{array}{rcl} 15 \\ 12 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 3 \\ 6 \end{array}) = E r r o r

\overset{\Rightarrow}{}

(\begin{array}{rcl} 15 \\ 6 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 9 \\ 12 \end{array}) = E r r o r

Da hab ich mir gedacht das wenn ich

n = 3

und

k = 6

vertausche, es von der Logik her passen würde, hier würde ich

9.100

M ö g l i c h k e i t e n

erhalten.

Wenn ich das ganze aber anders machen würde, also mit dem Auto mit 6 Plätzen beginnen würde, müsste es ja so lauten:

(\begin{array}{rcl} 15 \\ 6 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 12 \\ 9 \end{array}) = 1.101.100

M ö g l i c h k e i t e n

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Da stimmt etwas nicht, aber ich weiß nicht was.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

HAL9000

16:13 Uhr, 16.06.2021

Vorab: Es soll vermutlich nur darum gehen, welche Personen in welches Auto gehen, aber NICHT um die Sitzplatzverteilung innerhalb der Autos - oder?

Klar ist: Im zweiten Auto können entweder 3,4,5 oder 6 Personen Platz nehmen - die restlichen Personen nehmen dann automatisch im ersten Auto Platz (keine weitere Auswahlmöglichkeiten!). Entsprechend ist die gesuchte Anzahl

(\begin{array}{c} 15 \\ 3 \end{array}) + (\begin{array}{c} 15 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 15 \\ 5 \end{array}) + (\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array})

.

P.S.: Die Threadüberschrift ist völlig verfehlt, basiert allein auf deinem komplett untauglichen Lösungsversuch.

RosinenStrudel aktiv_icon

16:20 Uhr, 16.06.2021

Ja also gefragt ist hier die Möglichkeit die Personen auf die beiden Fahrzeuge auf zu teilen. Aber dennoch ich versteh ich deinen Ansatz nicht ganz. Entschuldigung untauglicher Lösungsversuch?
Es geht hier darum wie beispielsweise die restlichen 3 Personen auf die 6 Plätze verteilt werden können bzw. restlichen 9 auf die 12 Plätze und das ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge.

Also wäre hier z.B. n = 9 und 12 = k => n<k , hier n über k zu berechnen wäre ein mathematischer Fehler.

HAL9000

16:27 Uhr, 16.06.2021

> Vorab: Es soll vermutlich nur darum gehen, welche Personen in welches Auto gehen, aber NICHT um die Sitzplatzverteilung innerhalb der Autos - oder?

Ich vermisse noch eine klare Antwort auf diese Nachfrage.

Sollte es aber tatsächlich um die genaue Sitzplatzzuordnung aller 15 Leute geht, also z.B.

Person 1: Sitzplatz B4
Person 2: Sitzplatz A11
Person 3: Sitzplatz A2
Person 4: Sitzplatz B6
...
Person 15: Sitzplatz A5

dann ist die Antwort leicht: Variation von 15 aus 12+6=18, ergibt

\frac{18!}{(18 - 15)!} = \frac{18!}{3!}

. Die Zuordnung auf die beiden Autos geschieht da quasi nebenbei.

So oder so, dein Lösungsversuch passt zu keiner der beiden Interpretationsvarianten.

RosinenStrudel aktiv_icon

16:59 Uhr, 16.06.2021

Eigentlich habe ich deine "Nachfrage" beantwortet. Aber dann formuliere ich das mal anders. Es ist nur ENTSCHEIDEND, welche Person mit einer anderen Person im gleichen Auto fährt, aber JA, es ist NICHT ENTSCHEIDEND welche Person vorne oder hinten sitzt.

Würde es im zweiten Auto nur 3 Plätze statt 6 Plätze geben. Wäre mein Ansatz korrekt. Denn

(\begin{array}{rcl} 15 \\ 12 \end{array}) *

(\begin{array}{rcl} 3 \\ 3 \end{array}) = 455

Und aus diesem Gedanken heraus, wollte ich wissen wie es wäre, wenn es im zweiten Auto nicht 3 Plätze sondern 6 sind.

\frac{18!}{(18 - 15)!} = \frac{18!}{3!}

Das wäre nur korrekt wenn die Auswahl eine Reihenfolge haben soll, dessen Variation eine ohne Wiederholung ist.

Aber wie oben in der Fragestellung erwähnt, soll die Reihenfolge keine Rolle spielen, tut sie in diesem Anwendungsfall auch nicht, es ist nur wichtig wer mit wem ist.

HAL9000

17:04 Uhr, 16.06.2021

Wenn das zweite Auto voll besetzt ist, dann gibt es

(\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array})

Möglichkeiten für die Auswahl der 6 Leute, die in diesem zweiten Auto Platz nehmen sollen. Die restlichen 9 Leute nehmen dann automatisch im ersten Auto Platz, da gibt es KEINERLEI Wahlmöglichkeiten mehr - wenn du da unbedingt an die Anzahl

(\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array})

was dranmultiplizieren willst, dann ist das schlicht die Anzahl 1, d.h.

(\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array}) \cdot 1

.

Genauso verhält es sich in den anderen drei Fällen, wo also 5, 4 oder nur 3 Leute im zweiten Auto Platz nehmen. Dein

(\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 12 \\ 9 \end{array})

o.ä. ist also einfach nur fehlgedacht.

P.S.: Ich habe nur deswegen so nachdrücklich nach der genauen Aufgabenstellung gefragt, da deine Binomialkoeffizienten wie

(\begin{array}{c} 12 \\ 9 \end{array})

vermuten ließen, du wolltest innerhalb von Auto 1 irgendwelche Sitzplatzauswahlen treffen - anders macht dieser Faktor nämlich keinen Sinn.

RosinenStrudel aktiv_icon

17:24 Uhr, 16.06.2021

Ich glaub wir sind der Lösung ganz nah, aber laut deiner Überlegung müsste dann

(\begin{array}{rcl} 15 \\ 12 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 15 \\ 6 \end{array})

sein

Aber wenn von den 15 Person im beispielsweise ersten Auto (Es sollte egal sein welches Auto zuerst genommen wird) 12 Personen schon einen Platz haben, sind doch nur noch 3 Personen übrig oder nicht? Es kann sein, dass ich die ganze Zeit einen Denkfehler mit mir rumschleppe.

HAL9000

17:32 Uhr, 16.06.2021

> Ich glaub wir sind der Lösung ganz nah

Guter Witz ... sagen wir es so: Es besteht Hoffnung, dass du die Lösung dann doch endlich begreifst. ;-)

Es muss keineswegs

(\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array})

gleich

(\begin{array}{c} 15 \\ 6 \end{array})

sein, sondern es ist

(\begin{array}{c} 15 \\ 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 15 \\ 3 \end{array}) (*)

:

Weil es nämlich egal ist, ob man 12 Leute für Auto 1 auswählt (und die restlichen 3 dann automatisch in Auto 2 platziert), oder ob man 3 Leute für Auto 2 auswählt (und die restlichen 12 dann automatisch in Auto 1 platziert). Und diese Identität (*) ist zweifelsohne richtig.

Nochmal von vorn: In beiden Autos zusammen gibt es 12+6=18 Sitzplätze, wir haben aber nur 15 Personen auf die Autos zu verteilen - also bleiben insgesamt 3 Sitzplätze frei. Es gibt somit vier Fälle für die Anzahl-Aufteilung der 15 Personen auf die zwei Autos:

1.Fall: 12 in Auto 1 + 3 in Auto 2
2.Fall: 11 in Auto 1 + 4 in Auto 2
3.Fall: 10 in Auto 1 + 5 in Auto 2
4.Fall: 9 in Auto 1 + 6 in Auto 2

Und für jeden dieser vier Fälle gibt es einen solchen Binomialkoeffizient

(\begin{array}{c} 15 \\ k \end{array})

als Möglichkeitenanzahl.

RosinenStrudel aktiv_icon

17:37 Uhr, 16.06.2021

Ach jetzt hab ich verstanden wie du das meinst. Okay das macht absolut Sinn. Danke dir. Hab mich zu sehr in der ursprünglichen Aufgabe verheddert.

> Guter Witz

Fand ich übrigens auch :-D)

RosinenStrudel aktiv_icon

17:54 Uhr, 16.06.2021

Doch noch eine klitzekleine Frage, jeder Fall deiner 4 aufgelisteten Fälle ergibt doch eine andere Möglichkeiten, müsste man dann nicht alle 4 Fälle zusammen multiplizieren bzw. addieren. Das verwirrt tatsächlich mich noch.

HAL9000

18:11 Uhr, 16.06.2021

> müsste man dann nicht alle 4 Fälle zusammen [...] addieren.

Richtig. Und was habe ich oben in meinem ersten Beitrag geschrieben?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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