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Werfen eines fairen Würfels

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

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00:22 Uhr, 09.07.2019

Hallo, ich komme bei 3 Teilaufgaben nicht weiter..

"Rolf würfelt dreimal einen fairen Würfel"

a)

mit welcher Wahrscheinlichkeit Würfel er jedes Mal eine "Eins"?

- \to P = 0,05

b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das genau das Folgende eintritt: Er würfelt beim ersten Mal eine "Eins", beim zweiten Mal eine "Zwei", beim dritten Mal eine "Drei"?

- \to P = 0,05

nun zu den drei Teilaufgaben:

c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einmal eine "Eins", einmal eine "Zwei" und einmal eine "Drei" würfelt? .. ich habe vermutet, dass auch hier die Wahrscheinlichkeit

0,05

beträgt. Jedoch ist diese hier

0,028

. Ich verstehe leider nicht wieso und was der Unterschied zu der

b)

ist...

d)

Sie wissen, dass die Augensumme 5 oder kleiner ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Rolf drei Mal eine "Eins" gewürfelt?
.. komme hier auch nicht weiter, habe es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit probiert, kam aber auch nicht auf das richtige Ergebnis von

0.100

e)

Rolf hat bei den ersten beiden Malen eine "Eins" gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er nun auch beim dritten Mal eine "Eins" würfelt? .. richtig ist

P = 0,167

. Weiß aber auch nicht wie man auf das Ergebnis kommt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

01:46 Uhr, 09.07.2019

Dein Ergebnis zu

a)

und

b)

ist falsch.

> c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einmal eine "Eins", einmal eine "Zwei" und einmal eine "Drei" würfelt? .. ich habe vermutet, dass auch hier die Wahrscheinlichkeit

0,05

beträgt. Jedoch ist diese hier

0,028

.

Ja, besser wäre es die WKT genau mit

\frac{1}{36}

anzugeben.

\frac{1}{36} = 0,02 \bar{7} \approx 0,028

>

Ich verstehe leider nicht wieso und was der Unterschied zu der

b)

ist...
Bei

b)

müssen die Würfel genau

1 - 2 - 3

zeigen, in dieser und keiner anderen Reihenfolge.

Bei

c)

darf es gerne auch

2 - 1 - 3,

oder

3 - 2 - 1,

oder

. .

. sein. Die WKT von

c)

ist daher sechsmal größer als die von

b)

> d)

Sie wissen, dass die Augensumme 5 oder kleiner ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Rolf drei Mal eine "Eins" gewürfelt?

> .

. komme hier auch nicht weiter, habe es mit der bedingten Wahrscheinlichkeit probiert,

Wie? Zeig her!
hast du dir alle Möglichkeiten, mit dreimal würfeln eine Augensumme

\leq 5

zu erzielen aufgeschrieben? Inklusive Berücksichtigung der Reihenfolge!!
Wenn nicht, dann hole das nach. Wie viele Möglichkeiten hast du da gefunden?

ad

e)

Meinst du, dass der Würfel ein Gedächtnis hat? Merkt sich der, was er vorhin gerade gewürfelt hat? Wie groß ist da also die WKT, dass der dritte Wurf eine 1 ist?

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02:26 Uhr, 09.07.2019

habe mich bei

a)

und

b)

vertippt: richtig

p = 0,005

c)

und

e)

habe ich verstanden.

e)

ist die Wahrscheinlichkeit

0.067 .

. die WS der ersten beiden Würfen ist ja gegeben, muss nur die Wahrscheinlichkeit für einen Wurf berechnen.

d)

bin ich leider noch am Verzweifeln
ich habe

10

Möglichkeiten gefunden:

111, 112, 121, 211, 122, 221, 212, 131, 113, 311

weiß aber auch nicht wie ich die Formel hier anwenden soll..

P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}

danke..

anonymous

07:21 Uhr, 09.07.2019

Hallo
zu

a)

und

b)

Besser ist es,

p = \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{216}

zu schreiben. Das ist zwar so ungefähr

p = 0,005

aber auch ungefähr

p = 0,00462963

oder so ungefähr

p = 0,00462962962962963

Wir wissen nicht, wie genau du die Angabe brauchst.
Mit einem einfachen

p = \frac{1}{216}

bist du aber auf jeden Fall exakt, und ersparst uns und dir diese Wortlawine an Erläuterungen.
Und mal ehrlich, wenn du im Laden

46,30

€ bezahlen musst, legst du dann auch 50€ hin und sagst, das macht keinen Unterschied?

zu

e)

Selbe Rede und Appell:

p = \frac{1}{6}

d)

"ich habe

10

Möglichkeiten gefunden:

111

112

121

211

122

212

221

113

131

311"

Jetzt mach es dir bloß nicht kompliziert.
Wahrscheinlichkeit ist Anzahl günstiger Ereignisse geteilt durch Anzahl möglicher Ereignisse.

>

Wie viele Ereignisse sind denn möglich, mit 'Augenzahl 5 oder kleiner'?
Das hast du streng genommen schon beantwortet. Es sind:

10

>

Wie viele Ereignisse davon haben 'drei (m)al eine "Eins"'?

Roman-22

11:07 Uhr, 09.07.2019

Dass es vernünftiger und sinnvoller ist. hier die WKTen exakt in Bruchform anzugeben, hatte ich ja am Beispiel

c)

auch schon geschrieben und so kann ich Elfengleichs Appell, dies immer zu machen, nur unterstützen. Es spricht aber nichts dagegen, zusätzlich ein gerundetes Ergebnis mit anzugeben, also zB

P (a)) = \frac{1}{216} \approx 0,46 %

.

ad

d)

Kein Grund zur Verzweiflung.
Du hast Recht damit, dass es sich hier um eine bedingte WKT handelt, aber der Satz von Bayes ist hier (zumindest explizit) nicht nötig.
Du hast ja alle

10

Möglichkeiten, eine Augensumme kleiner gleich 5 zu würfeln, gefunden. Der Grund, warum ich schrieb "Inklusive Berücksichtigung der Reihenfolge!!" war der, dass auf diese Weise alle deine gefundenen Ereignisse mit gleicher WKT auftreten. Das ist wichtig, um die simple "Formel", die du sicher kennst, nämlich "WKT ist Günstige durch Mögliche" anwenden zu können. Nur eins deiner

10

Ereignisse ist "günstig", nämlich

1 - 1 - 1,

wodurch du eben sofort auf die genannte WKT

\frac{1}{10} = 0,1 = 10 %

kommst.

Aber natürlich funktioniert der Satz von Bayes hier auch;

A . .

. die Serie

1 - 1 - 1

kommt

B . .

. die Augensumme ist

\leq 5

Da jeder der drei Würfe jede der Zahlen 1 bis 6 zeigen kann, gibt es insgesamt

6^{3} = 216

Möglichkeiten für so eine Wurfserie.

.)

Ereignis A kann nur auf eine Art zustande kommen, daher ist

P (A) = \frac{1}{216}

.)

Ereignis

B

kann, wie du herausgefunden hast, auf

10

Arten zustande kommen, also ist

P (B) = \frac{10}{216}

.)

Wenn drei Einsen gewürfelt wurde, dann ist die Augensumme

3,

also ganz sicher

\leq 5

. Folglich ist

P (B | A) = 1

Und jetzt einsetzen:

P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)} = \frac{1 \cdot \frac{1}{216}}{\frac{10}{216}} = \frac{1}{10}

Aber wie gesagt, das wäre hier ein wenig wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen ;-)

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15:09 Uhr, 09.07.2019

Vielen Dank euch beiden!!!

Ja, wir sollten auf

0.005

runden, da unser System keine Bruchzahlen annimmt :-) ansonsten
weiß ich, dass es besser ist Brüche direkt aufzuschreiben, um Rundungsfehler zu umgehen.

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