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Wert für p gesucht für B und F kommulierte Tabelle

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wert für p gesucht einmal für B und F also die kommulierten Werte Binomialverteilung

Mathematik1 aktiv_icon

07:41 Uhr, 07.10.2021

Hallo,
Zwei Fragen zu den Aufgaben im Anhang als Bild.
Ist mein Ansatz für Aufgabe a richtig und wie müsste dieser für

F

lauten. Also für die kommulierten Werte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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07:44 Uhr, 07.10.2021

Anhang fehlt!

Mathematik1 aktiv_icon

10:24 Uhr, 07.10.2021

Mit dem Bild scheint nicht zu funktionieren gerade.

Für welchen Wert non

p

ist

a) B 100, p (10)

Schätzen Sie zuerst und rechnen Sie dann.

b) F 100, p (10)

am größten?

Für a mein Ansatz

P (K = 10) =

100über10xp^10x(1-p)^90=Max.

Ist das richtig und wie geht man mit

F

also der kommulierten Verteilung vor?

HAL9000

12:33 Uhr, 07.10.2021

Wenn man wüsste, was du mit deinen Bezeichnungen meinst, käme man weiter. Ich vermute mal, dass

B_{n, p} (k) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) p^{k} {(1 - p)}^{n - k}

die Wahrscheinlichkeitsfunktion (d.h. diskrete Dichte) sowie

F_{n, p} (k) = \sum_{j = 0}^{k} B_{n, p} (j)

die zugehörige Verteilungsfunktion der Binomialverteilung

B (n, p)

sein sollen - was ich nur anhand deiner vorletzten Zeile erahnen kann, denn der Begriff "Binomialverteilung" taucht ja in deinem gesamten Beitrag inklusive Überschrift nicht auf. :(

Mathematik1 aktiv_icon

13:34 Uhr, 07.10.2021

Danke!
Genau das meine ich damit.
Wie lauten dann die Ansätze für Aufgabe a und b?

HAL9000

14:08 Uhr, 07.10.2021

p \mapsto B_{n, p} (k)

ist eine stetig differenzierbare Funktion. Um deren Maximum zu bestimmen, setzt man als notwendige Bedingung deren erste Ableitung gleich Null.

\frac{\partial}{\partial p} B_{n, p} (k) = (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot [k p^{k - 1} {(1 - p)}^{n - k} - (n - k) p^{k} {(1 - p)}^{n - k - 1}]

= (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) \cdot [k (1 - p) - (n - k) p] \cdot p^{k - 1} {(1 - p)}^{n - k - 1}

p = 0

sowie

p = 1

kommen im Fall

0 < k < n

nicht als Maximumstellen in Frage, denn für diese

k

gilt

B_{n, 0} (k) = B_{n, 1} (k) = 0

. Für das Maximum muss Nullstelle

\hat{p}

der Ableitung daher

k (1 - \hat{p}) - (n - k) \hat{p} = 0

erfüllen, umgestellt

\hat{p} = \frac{k}{n}

. In deinem Fall reden wir da über

n = 100, k = 10

.

b) Auch hier könnte man über die Ableitung

\frac{\partial}{\partial p} F_{n, p} (k)

gehen (tatsächlich besitzt diese eine einfachere Darstellung als die Funktion selbst, nämlich eine summenfreie), aber es geht auch einfacher:

Es ist schlicht und einfach

F_{n, p} (k) < 1

für alle

0 < p \leq 1

und

0 \leq k < n

, während

F_{n, 0} (k) = 1

für alle

k

gilt. Ergo ist

p = 0

die Maximumstelle.

Mathematik1 aktiv_icon

20:14 Uhr, 07.10.2021

Ok danke.
Oder alternativ kann man die Werte auch mittels CAS ermitteln, also aus der Tabelle dann den Wert ablesen.
Aber vielen Danke für die rechnerische und ausführliche Antwort

HAL9000

20:16 Uhr, 07.10.2021

> Oder alternativ kann man die Werte auch mittels CAS ermitteln, also aus der Tabelle dann den Wert ablesen.

Wie willst du das optimale

p

aus einer Tabelle auslesen? Unendlich viele Werte durchprobieren?

Mathematik1 aktiv_icon

20:39 Uhr, 07.10.2021

Durch die Tabelle durchblättern. Der Rechner zeigt es wie in einer Wertetabelle an.
Aber wie rechnerisch dargestellt ist natürlich viel besser
Danke dafür

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