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Werte für a, b, c, d sodass Geraden identisch sind

Schüler

Tags: Analytische Geometrie, Geraden, Vektorrechnung

traumusa aktiv_icon

18:44 Uhr, 02.03.2014

Zum Thema Geraden im Raum:
Geben Sie Werte für die Variablen

a, b, c

und

d

an, sodass die Geraden

g : x = (\begin{matrix} - 5 \\ 7 \\ a \end{matrix}) + r (\begin{matrix} b \\ - 6 \\ 2 \end{matrix})

und

h : x = (\begin{matrix} 1 \\ c \\ 3 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ d \end{matrix})

sich schneiden.

Mein Grundgedanke wäre gewesen, wieso nicht einfach beliebige Werte für

r

und

s

nehmen und nach denen

a, b, c

und

d

auflösen.

Falls das überhaupt stimmen würde, hätte ich trotzdem das Problem dass in einem LGS die dritte Zeile 2 Variablen hat, ich diese jedoch nicht auf eine minimieren kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grundbegriffe der ebenen Geometrie

GoldenTeddy aktiv_icon

16:23 Uhr, 02.03.2014

Hi,

wann sind die beiden geraden denn identisch?

Wenn sie
(I) jeweils den gleichen oder vielfache der Richtungsvektoren haben
(II) der Stützpunkt der einen Geraden auch auf der anderen Gerade liegt.

Also:

\vec{u} = k \cdot \vec{v}

, wobei

\vec{u}

und

\vec{v}

jeweils die Richtungsvektoren sind und

k

eine Konstante
und

\vec{a} + r \cdot \vec{u} = \vec{b}

, wobei

\vec{a}

der Stützpunkt der einen Gerade ist und

\vec{b}

der Stützpunkt der anderen Gerade.

traumusa aktiv_icon

16:26 Uhr, 02.03.2014

Was ist denn mit

u

und

v

gemeint?
Ist damit zum Beispiel nur

u = (\begin{matrix} b \\ - 6 \\ 2 \end{matrix})

gemeint?

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16:29 Uhr, 02.03.2014

Die Richtungsvektoren:

\vec{u} = (\begin{array}{rcl} b \\ - 6 \\ 2 \end{array})

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 3 \\ d \end{array})

traumusa aktiv_icon

16:38 Uhr, 02.03.2014

Ich habe jetzt die Lösungen heraus:

c = - 2

b = 6

d = - 1

a = 1

Meine Ergebnisse stimmen mit den Lösungen meines Buches überein, außer

c,

wobei das ja auch falch angegeben gewesen sein könnte ?

Mir ist nur nicht klar, wie man aus deinen zwei Bedingungen

(I)

jeweils den gleichen oder vielfache der Richtungsvektoren haben
(II) der Stützpunkt der einen Geraden auch auf der anderen Gerade liegt.

die zwei Gleichungen herausfindet?

Danke!

GoldenTeddy aktiv_icon

16:41 Uhr, 02.03.2014

Oh man,

ja deine Lösungen stimmen, ich hab hier leider für Verwirrung gestiftet.

Die Gleichung lautet:

\vec{u} = k \cdot \vec{v}

k

ist irgendeine Konstante und NICHT dein

c

aus dem Vektor.

Also deine Lösung lautet dann:

k = - 2, b = 6, d = - 1

.

Über

c

und

a

kannst du im Moment noch nichts sagen.

Mit dieser Rechnung hast du (I) ausgenutzt. Du hast jetzt die beiden Richtungsvektoren

\vec{u} = (\begin{array}{rcl} 6 \\ - 6 \\ 2 \end{array})

und

\vec{v} = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{array})

. Diese stimmen bis auf einen Faktor

k = - 2

überein, womit deine Geraden schon mal in kollinear verlaufen.

Jetzt willst du noch, dass die eine Gerade durch den Stützpunkt der anderen verläuft.

Also: Stützpunkt1 + r*Richtungsvektor = Stützpunkt2

traumusa aktiv_icon

16:53 Uhr, 02.03.2014

Ah alles klar!

Ich bekomme dann für

c = 1

und

a = 1

raus.

wie ist der Ansatz bei b?

GoldenTeddy aktiv_icon

16:55 Uhr, 02.03.2014

... (gelöscht)

traumusa aktiv_icon

16:59 Uhr, 02.03.2014

Aber nach deinem Ansatz habe ich dann erst für

r = 1

ausgerechnet.
Und ein LGS augestellt.

7 - 6 = c

\to c = 1

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17:02 Uhr, 02.03.2014

Du hast recht, ich hab mich verrechnet :-D)

traumusa aktiv_icon

17:05 Uhr, 02.03.2014

Ich habe aber

r

in der ersten Zeile ausgerechnet. In der zweiten Zeile hätte ich sonst ja zwei Variablen.
Und

r = 1

habe ich dann in der zweiten Zeile eingesetzt. Also dass

c = 1

und

a = 1

sind, stimmt auch mit den Lösungen überein ;-)

traumusa aktiv_icon

17:12 Uhr, 02.03.2014

Oh alles klar.
Und wie bestimme ich die Variablen

a, b, c

und

d

wenn sich die Geraden nur schneiden?

GoldenTeddy aktiv_icon

17:17 Uhr, 02.03.2014

Ich hoffe dir ist anschaulich klar, warum (I) und (II) gelten müssen, damit die beiden Geraden identisch sind.

Zwei Geraden schneiden sich wenn

(I) sie keine kollinearen Richtungsvektoren haben
(II) sie in einem Punkt gleich sind

traumusa aktiv_icon

17:21 Uhr, 02.03.2014

Also wäre der Ansatz dass

r (\begin{matrix} b \\ - 6 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ d \end{matrix}) = 0

da lineare Unabhängigkeit?

GoldenTeddy aktiv_icon

17:30 Uhr, 02.03.2014

Um ehrlich zu sein, hab ich nicht wirklich ne ahnung, wie man das jetzt macht :(

Ich würde die Geraden gleichsetzen und dann versuchen umzuformen, so wie das z.B. auf dieser Seite hier gezeigt wird: www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/schnittprobleme/gerade-schneidet-gerade

Habe gerade leider keine Zeit darüber nachzudenken..

traumusa aktiv_icon

17:32 Uhr, 02.03.2014

Alles klar, trotzdem danke für a :-)

Matlog aktiv_icon

19:23 Uhr, 02.03.2014

Du musst ja nur irgendeine Möglichkeit finden, so dass sich die Geraden schneiden.

Ich habe ganz allgemein errechnet:
Die Geraden schneiden sich, wenn

b \neq 6

oder

d \neq - 1

und außerdem
48-18a-9b+6c+36d+3ab-7bd+bcd=0

Wenn Du willst, dann suchst Du Dir einfach Zahlen für

a, b, c, d,

so dass dies erfüllt ist und zeigst dann, dass die Geraden sich schneiden.

traumusa aktiv_icon

16:29 Uhr, 03.03.2014

Alles klar. Habe jetzt auch herausgefunden dass diese Art von Aufgabe nur durch Knobeln herauszufinden ist.
Danach habe ich das ganze gleich gesetzt und einen Schnittpunkt gefunden ;-)

Danke!

Matlog aktiv_icon

16:40 Uhr, 03.03.2014

"nur durch Knobeln herauszufinden"

Nun ja. Die oben von mir aufgeführten Bedingungen ergeben sich aus einer streng mathematischen Vorgehensweise: Lösen eines linearen Gleichungssystems in Abhängigkeit von den diversen Variablen!

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