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Wertebereich einer Potenzfunktion erkennen
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 21:48 Uhr, 14.12.2003  |
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| Wie kann man von einer beliebigen Potenzfunktion, z.b. -x^-3 bestimmen? Wie kann man das Verfahren auf andere Funktionen übertragen? | |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Wertemenge (Mathematischer Grundbegriff) Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 00:48 Uhr, 15.12.2003 |
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Der Wertebereich einer Funktion sind all jene Werte, die y annehmen kann. Zuerst musst Du den Grad der Funktion f(x) bestimmen. D.h. der höchste Exponent ist entscheident. (A) Der Exponent ist eine natürliche Zahl: (A.1) Der Exponent ist eine grade Zahl: (A.1.1) Der Faktor vor der Variablen mit dem höchsten Exponent ist positiv: Falls die Funktion f(x) den Exponenten 0 aufweist, also eine Zahl ohne Variable auftaucht, ist diese Zahl die untere Schranke; die obere ist oo(unendlich). Bsp.: f(x)=3x^4-4x^3+7 ==> W=[7,+oo[ (A.1.2) Der Faktor vor der Variablen mit dem höchsten Exponent ist negativ: Falls die Funktion f(x) den Exponenten 0 aufweist, ist diese Zahl die obere Schranke; die untere ist -oo. Bsp.: f(x)=-4x^2+2x+5 ==> W=]-oo,5] (A.2) Der Exponent ist eine ungerade Zahl: Dann wird W=R Bsp.: f(x)=x^3 ==> W=]-oo,+oo[ (B) Der Exponent ist eine negative Zahl: (B.1) Der Exponent ist gerade: Falls die Funktion f(x) den Exponenten 0 aufweist, ist der zugehörige Faktor Ausschlag gebend. Sei v der Faktor, dann gilt: W=[v,(v+1)[ Bsp.: f(x)= x^-4+2 ==> W=[2,3[ (B.2) Der Exponent ist ungerade: Falls die Funktion f(x) den Exponenten 0 aufweist, ist der zugehörige Faktor Ausschlag gebend. Sei v der Faktor, dann gilt: W=](v-1),(v+1)[ Bsp.: f(x)= x^-5+x^2-7 ==> W=]-8,-6[ (C)Der Exponent ist eine rationale Zahl (ein Bruch): (C.1) Der Nenner ist gerade: Dann existiert nur die positive Lösung. - und natürlich muss auf den y-Achsenabschnitt geachtet werden: W=[v,+oo[ Bsp.: f(x)= x^(1/2)+5 ==> W=[5,+oo[ (C.2) Der Nenner ist ungerade: Dann wird W=]-oo,+oo[ Bsp.: f(x)= x^(1/3)-2 ==> W=[-oo,+oo[ !! Achtung !! Bei Wurzelfunktionen darf die Variable nur in einem Grad vorhanden sein! Sonst gibt es Definitionsprobleme und Du musst Teilintervalle ausschließen. |
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anonymous 01:00 Uhr, 15.12.2003 |
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Oops... Ein kleiner Fehler in (B.1) Exponent ist ein Bruch, der Nenner ist gerade. Dann gilt für positive Faktoren: f(x)= ax^-(1/2n)+v ==> W=[v,(v+a)] Und für negative Faktoren: f(x)= -ax^-(1/2n)+v ==> W=[(v-a],v] |
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anonymous 01:11 Uhr, 15.12.2003 |
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Hmm... Bei genauerer Betrachtung sind da noch einige Fehler mehr... Also für Funktionen 1.Grades kann man festhalten: f(x)= ax+v W=]-oo,+oo[ Bei Funktionen 2.Grades kommt es auf den Vorfaktor und den y-Achsenabschnitt an: f(x)= ax^2+bx+v | und a ist positiv W=[v,+oo] f(x)= -ax^2+bx+v | a ist negativ W=[-oo,v] Bei Funktionen 3.Grades kann man wiederum festhalten: f(x)= ax^3+bx^2+cx+d W=]-oo,+oo[ Bei Funktionen 4.Grades kommt es auf den Vorfaktor an, und die Maxima, die allerdings erst durch differenzieren erkannt werden können... Bei Funktionen 5.Grades gilt dann wieder: W=]-oo,+oo[ Es ist zu erkennen, dass Funktionen eines (2n-1).Grades immer den Wertebereich W=]-oo,+oo[ aufweisen. Hoffentlich stimmt jetzt alles, was ich schreibe... |
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anonymous 16:21 Uhr, 15.12.2003 |
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Danke für diese Auführliche und genaue Erklärung!! |
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ICh habe mal für alle Potenzfunktionen die Möglichkeiten der Definitionsmenge und Wertemenge mit Graphen und Funktionsvorschriften in einem Word-Dokument verallgemeinert und eine "Regel" aufegstellt, wie man es genau an der Funktionsvorschrift erkennen kann. Bei Intresse E-Mail an: florian.modler@web.de ;) |
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anonymous 17:29 Uhr, 16.01.2005 |
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| also bei Wurzelfunktionen kannst du schpnmal davon ausgehen das keine Negativen Zahlen engegeben werden dürfen, es keinen negativen Wertebereich gibt, und dann musst du Konvergenz und Beschränktheit überprüfen. dann hast dus | |
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