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Tags: Funktion, Wertetabell

Simulacrum

11:14 Uhr, 25.01.2023

Guten Tag,
ich habe die Werte einer Funktion, aber bin überfragt, welchen Funktionstyp ich suche und wie die Funktion schlussendlich aussehen soll.
Wertetabelle (Werte gerundet)

f (0) = -

Unendlich

f (0,1) = - 1,281552

f (0,25) = - 0,6744898

f (0,5) = 0

f (0,75) = 0,6744898

f (0,9) = 1,281552

f (1) = +

Unendlich
Ich hatte schon Funktionen mit ungeradem Exponenten

z . B

f (x) = {(5 x - 2,5)}^{3}

oder

tan (3 x - 1,5)

mit ähnlichem Verlauf konstruiert, aber irgendwie passt nichts richtig...
Ich würde mich jedenfalls sehr über Ideen / Hinweise was für eine Funktion gesucht sein könnte, freuen.
Lieben Gruß
Eli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Simulacrum

11:24 Uhr, 25.01.2023

Bzw.

f (x) =

qnorm(x) entspräche der gesuchten Funktion

(f (x)

in Abständen von

0.05

von 0 bis 1. Nur wie sieht die Funktion mathematisch aus?

> x < -

seq(0,1,0.05)

>

qnorm(x)

[1]

-Inf

- 1.6448536 - 1.2815516 - 1.0364334 - 0.8416212 - 0.6744898 - 0.5244005

[8] - 0.3853205 - 0.2533471 - 0.12566130.00000000.12566130.25334710.3853205

[15] 0.52440050.67448980.84162121.03643341.28155161.6448536

Inf
Lieben Gruß
Eli

Simulacrum

11:24 Uhr, 25.01.2023

Doppelpost

- . -'

pivot aktiv_icon

11:55 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

Es existiert keine geschlossenen Formel für die Verteilungsfuntion der Normalverteilung. Man kann über die Reihenenwicklung versuchen sich dem Werten anzunähern. Oder einfacher: Man verwendet approximativ folgende einfache Formel:

Φ (x) \approx 0.5 \cdot (1 + \sqrt{1 - e^{- (\sqrt{\frac{π}{8}} \cdot x^{2})}})

Gruß
pivot

pivot aktiv_icon

11:56 Uhr, 25.01.2023

Hallo,

es existiert keine geschlossenen Formel für die Verteilungsfuntion der Normalverteilung. Man kann über die Reihenenwicklung versuchen sich dem Werten anzunähern. Oder einfacher: Man verwendet approximativ folgende einfache Formel:

Φ (x) \approx 0.5 \cdot (1 + \sqrt{1 - e^{- (\sqrt{\frac{π}{8}} \cdot x^{2})}})

Gruß
pivot

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11:57 Uhr, 25.01.2023

Doppelpost.

Simulacrum

11:57 Uhr, 25.01.2023

Danke dir!
Heißt, so ich eine genaue Funktion finden möchte, müsste ich nach aktuellem Stand selbst basteln?

calc007

12:10 Uhr, 25.01.2023

Hallo
Es gibt natürlich unendlich viele Funktionsmöglichkeiten.
Wenn es dir auf Präzision ankäme müsstest du schon noch mehr über die Charakteristik des Funktionsverlaufs wissen lassen.
Eine Möglichkeit in Anlehnung an deine tan-Funktion:

f (x) = (16.0068973427355 \cdot {(x - 0.5)}^{4} - 6.20859428392097 \cdot {(x - 0.5)}^{2} + 1) \cdot tan (π \cdot (x - 0.5))

PS:
das bezog sich auf die ursprüngliche Funktionsbeschreibung.
Inzwischen hast du ja die Nähe zur Normalverteilung abgenickt...

pivot aktiv_icon

12:14 Uhr, 25.01.2023

Du wirst sie nicht finden. Erschwerend kommt noch hinzu, dass du eigentlich die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung suchst. Mit der von mir geposteten einfachen Formel könnte das gelingen.

Simulacrum

12:29 Uhr, 25.01.2023

Danke!
Heißt die Umkehrfunktion von

P (a < x < b) =

Integral(a,b)

\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \cdot π}} \cdot e^{- 0,5 \cdot z^{2}}

d x

mit

z =

(x-µ)*1/

σ

bzw. die Umkehrfunktion zu

f (x) =

pnorm(x) bzw.

f^{- 1} (x) =

qnorm(x)?
Vielen Dank & lieben Gruß
Eli

pivot aktiv_icon

12:51 Uhr, 25.01.2023

Es ja

μ = 1

und

σ = 1

, wegen Standardnormalverteilung.

Das ist dann richtig. Da müsstest du die Umkehrfunktion finden.

Das würde relativ einfach (approximativ) mit meiner Formel gehen.
Oder du verwendest einfach die Funktion qnorm. Die einfachste Variante.

pivot aktiv_icon

12:53 Uhr, 25.01.2023

Bin demnächst für ein paar Stunden weg.

Simulacrum

13:01 Uhr, 25.01.2023

Danke dir!
µ

= 0

σ = 1,

macht es etwas einfacher

;)

HAL9000

13:20 Uhr, 25.01.2023

Ich hab mal mit folgender Näherungsformel für Standardnormalverteilungsquantile gearbeitet:

Mit Hilfsfunktion

h (x) = \ln (4 x (1 - x))

sowie Konstante

c := \frac{4000}{147 π}

rechnet man

Φ^{- 1} (x) \approx sgn (x - \frac{1}{2}) \cdot \sqrt{\sqrt{{(h (x) + c)}^{2} - π c h (x)} - h (x) - c}

.

Ist recht gut für

0.05 \leq x \leq 0.95

, mit absolutem Fehler

< 2 \cdot 1 0^{- 4}

. An den Rändern ist sie etwas schlechter, für

x = 0.99

ist der Fehler bereits

0.0023

, und für

x = 0.999

schon

0.0056

. Hat für meine Einsatzzwecke genügt.

Roman-22

14:00 Uhr, 25.01.2023

Die Frage, dies sich mir zuerst aufdrängt, ist, wozu du das benötigst.
Jedes halbwegsbrauchbare Mathe-Programm liefert dir die Funktionswerte der Quantilen-Funktion qnorm in "beliebiger" Genauigkeit und auch viele Taschenrechner können mir dieser Funktion aufwarten.

Du suchst die Umkehrfunktion von

y = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot \int_{0}^{x} e^{- \frac{1}{2} \cdot ξ^{2}} d ξ

und da wirst du wohl kein Glück haben, wenn du hier eine Darstellung durch elementare Funktionen erwartest, wie man dir ja bereits geschrieben hatte.

Wenn du aus irgend einem Grund die Funktion selbst in einem

μ C

einprogrammieren musst, würde sich vermutlich die Implementation einer numerischen Integration, mit der dann die Umkehrung leicht zu bestimmen wäre, lohnen. Aber auch das fixe Einspeichern einer vorberechneten hinreichend genauen Werttabelle mit deren Hilfe dann interpoliert wird wäre zielführend.

Natürlich kann man auch näherungsweise eine Funktion fitten. Und ja, die Tangensfunktion hat da sicher schon einige der gewünschten Eigenschaften, aber wie immer man auch den Vorfaktor wählt (ich hab da im Bild mal

0,5

genommen) wird die Kurve um

x = 0,5

zu flach und später dann zu steil verlaufen.

Da wird man also noch ordentlich herumbasteln müssen, um eine eine eingermaßen gut passende Funktion zu kommen. Vielleicht so, wie von calc007 geschrieben (ich habs nicht ausprobiert).

Auch eine Polynomfunktion dritten Grades ist möglich, sie müsste dann aber eher so aussehen

Genauer wirds natürlich, wenn man den Polynomgrad erhöht

Auch eine gebrochen rationale Funktion lässt sich leicht implementieren

Roman-22

14:04 Uhr, 25.01.2023

Hier noch der Vorschlag von pivot

und jener von HAL9000

HAL9000

14:21 Uhr, 25.01.2023

Auf dem Approximationsniveau plottet man wohl besser die Differenz zur Zielfunktion

Φ^{- 1} (x)

, und dann mit entsprechend feinerer Skale für diese Differenz.

Blau steht für

Φ_{p i v o t}^{- 1} - Φ^{- 1}

und rot für

Φ_{h a l}^{- 1} - Φ^{- 1}

Simulacrum

15:29 Uhr, 25.01.2023

Danke euch!
Eigentlich sollte ich die Funktion für qnorm() eben ohne voreinprogrammierte Funktionen selbst programmieren und kam spontan nicht weiter. Wahrscheinlich ist es am einfachsten, ich begnüge mich bis auf Weiteres mit den ziemlich guten Näherungsfunktionen. Sollte ich irgendwas Schlaues herausfinden, melde ich mich nochmal

;)

Danke & Gruß
Eli

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