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Tags: Funktion, Wertetabell

 
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Simulacrum

Simulacrum

11:14 Uhr, 25.01.2023

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Guten Tag,
ich habe die Werte einer Funktion, aber bin überfragt, welchen Funktionstyp ich suche und wie die Funktion schlussendlich aussehen soll.
Wertetabelle (Werte gerundet)
f(0)=- Unendlich
f(0,1)=-1,281552
f(0,25)=-0,6744898
f(0,5)=0
f(0,75)=0,6744898
f(0,9)=1,281552
f(1)=+ Unendlich
Ich hatte schon Funktionen mit ungeradem Exponenten z.B. f(x)=(5x-2,5)3 oder tan(3x-1,5) mit ähnlichem Verlauf konstruiert, aber irgendwie passt nichts richtig...
Ich würde mich jedenfalls sehr über Ideen / Hinweise was für eine Funktion gesucht sein könnte, freuen.
Lieben Gruß
Eli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Simulacrum

Simulacrum

11:24 Uhr, 25.01.2023

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Bzw. f(x)= qnorm(x) entspräche der gesuchten Funktion (f(x) in Abständen von 0.05 von 0 bis 1. Nur wie sieht die Funktion mathematisch aus?
>x<- seq(0,1,0.05)
> qnorm(x)
[1] -Inf -1.6448536-1.2815516-1.0364334-0.8416212-0.6744898-0.5244005
[8]-0.3853205-0.2533471-0.12566130.00000000.12566130.25334710.3853205
[15]0.52440050.67448980.84162121.03643341.28155161.6448536 Inf
Lieben Gruß
Eli
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Simulacrum

Simulacrum

11:24 Uhr, 25.01.2023

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Doppelpost -.-'
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pivot

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11:55 Uhr, 25.01.2023

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Hallo,

Es existiert keine geschlossenen Formel für die Verteilungsfuntion der Normalverteilung. Man kann über die Reihenenwicklung versuchen sich dem Werten anzunähern. Oder einfacher: Man verwendet approximativ folgende einfache Formel:
Φ(x)0.5(1+1-e-(π8x2))

Gruß
pivot
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pivot

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11:56 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Hallo,

es existiert keine geschlossenen Formel für die Verteilungsfuntion der Normalverteilung. Man kann über die Reihenenwicklung versuchen sich dem Werten anzunähern. Oder einfacher: Man verwendet approximativ folgende einfache Formel:
Φ(x)0.5(1+1-e-(π8x2))

Gruß
pivot
Antwort
pivot

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11:57 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Doppelpost.
Simulacrum

Simulacrum

11:57 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Danke dir!
Heißt, so ich eine genaue Funktion finden möchte, müsste ich nach aktuellem Stand selbst basteln?
Antwort
calc007

calc007

12:10 Uhr, 25.01.2023

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Hallo
Es gibt natürlich unendlich viele Funktionsmöglichkeiten.
Wenn es dir auf Präzision ankäme müsstest du schon noch mehr über die Charakteristik des Funktionsverlaufs wissen lassen.
Eine Möglichkeit in Anlehnung an deine tan-Funktion:
f(x)=(16.0068973427355(x-0.5)4-6.20859428392097(x-0.5)2+1)tan(π(x-0.5))


PS:
das bezog sich auf die ursprüngliche Funktionsbeschreibung.
Inzwischen hast du ja die Nähe zur Normalverteilung abgenickt...
Antwort
pivot

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12:14 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Du wirst sie nicht finden. Erschwerend kommt noch hinzu, dass du eigentlich die Umkehrfunktion der Standardnormalverteilung suchst. Mit der von mir geposteten einfachen Formel könnte das gelingen.
Simulacrum

Simulacrum

12:29 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Danke!
Heißt die Umkehrfunktion von P(a<x<b)= Integral(a,b) 1σ2πe-0,5z2
dx mit z= (x-µ)*1/ σ
bzw. die Umkehrfunktion zu f(x)= pnorm(x) bzw. f-1(x)= qnorm(x)?
Vielen Dank & lieben Gruß
Eli
Antwort
pivot

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12:51 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Es ja μ=1 und σ=1, wegen Standardnormalverteilung.

Das ist dann richtig. Da müsstest du die Umkehrfunktion finden.

Das würde relativ einfach (approximativ) mit meiner Formel gehen.
Oder du verwendest einfach die Funktion qnorm. Die einfachste Variante.




Antwort
pivot

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12:53 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Bin demnächst für ein paar Stunden weg.
Simulacrum

Simulacrum

13:01 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Danke dir!
µ =0
&
σ=1,
macht es etwas einfacher ;)
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

13:20 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Ich hab mal mit folgender Näherungsformel für Standardnormalverteilungsquantile gearbeitet:

Mit Hilfsfunktion h(x)=ln(4x(1-x)) sowie Konstante c:=4000147π rechnet man

Φ-1(x)sgn(x-12)(h(x)+c)2-πch(x)-h(x)-c .

Ist recht gut für 0.05x0.95, mit absolutem Fehler <210-4. An den Rändern ist sie etwas schlechter, für x=0.99 ist der Fehler bereits 0.0023, und für x=0.999 schon 0.0056. Hat für meine Einsatzzwecke genügt.
Antwort
Roman-22

Roman-22

14:00 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Die Frage, dies sich mir zuerst aufdrängt, ist, wozu du das benötigst.
Jedes halbwegsbrauchbare Mathe-Programm liefert dir die Funktionswerte der Quantilen-Funktion qnorm in "beliebiger" Genauigkeit und auch viele Taschenrechner können mir dieser Funktion aufwarten.

Du suchst die Umkehrfunktion von y=12π0xe-12ξ2dξ und da wirst du wohl kein Glück haben, wenn du hier eine Darstellung durch elementare Funktionen erwartest, wie man dir ja bereits geschrieben hatte.

Wenn du aus irgend einem Grund die Funktion selbst in einem μC einprogrammieren musst, würde sich vermutlich die Implementation einer numerischen Integration, mit der dann die Umkehrung leicht zu bestimmen wäre, lohnen. Aber auch das fixe Einspeichern einer vorberechneten hinreichend genauen Werttabelle mit deren Hilfe dann interpoliert wird wäre zielführend.

Natürlich kann man auch näherungsweise eine Funktion fitten. Und ja, die Tangensfunktion hat da sicher schon einige der gewünschten Eigenschaften, aber wie immer man auch den Vorfaktor wählt (ich hab da im Bild mal 0,5 genommen) wird die Kurve um x=0,5 zu flach und später dann zu steil verlaufen.
B1
Da wird man also noch ordentlich herumbasteln müssen, um eine eine eingermaßen gut passende Funktion zu kommen. Vielleicht so, wie von calc007 geschrieben (ich habs nicht ausprobiert).

Auch eine Polynomfunktion dritten Grades ist möglich, sie müsste dann aber eher so aussehen
B2

Genauer wirds natürlich, wenn man den Polynomgrad erhöht
B3

Auch eine gebrochen rationale Funktion lässt sich leicht implementieren
B4

Antwort
Roman-22

Roman-22

14:04 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Hier noch der Vorschlag von pivot
B5

und jener von HAL9000
B6

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:21 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Auf dem Approximationsniveau plottet man wohl besser die Differenz zur Zielfunktion Φ-1(x), und dann mit entsprechend feinerer Skale für diese Differenz.

Blau steht für Φpivot-1-Φ-1 und rot für Φhal-1-Φ-1.



norm
Frage beantwortet
Simulacrum

Simulacrum

15:29 Uhr, 25.01.2023

Antworten
Danke euch!
Eigentlich sollte ich die Funktion für qnorm() eben ohne voreinprogrammierte Funktionen selbst programmieren und kam spontan nicht weiter. Wahrscheinlich ist es am einfachsten, ich begnüge mich bis auf Weiteres mit den ziemlich guten Näherungsfunktionen. Sollte ich irgendwas Schlaues herausfinden, melde ich mich nochmal ;)
Danke & Gruß
Eli