Hallo,
zu 1)
5*x^2 + s*x - 4 = 0 | /5
x^2 + s/5*x - 4/5 = 0
x_12 = s/5 +- sqrt(s^2/25 + 20/25)
Eine Lösung soll 4 sein.
Es gilt:
0 < 20/25
s^2/25 < s^2/25 + 20/25
sqrt(s^2/25) < sqrt(s^2/25 + 20/25)
|s/5| < sqrt(s^2/25 + 20/25)
1. Fall:
Für s<0 gilt:
s/5 < 0 und |s/5| = -s/5
s/5 < 0 und -s/5 < sqrt(s^2/25 + 20/25)
s/5 < 0 und -sqrt(s^2/25 + 20/25) < s/5
-sqrt(s^2/25 + 20/25) < s/5 < 0 | +s/5
s/5 -sqrt(s^2/25 + 20/25) < 2*s/5 < s/5 < 0
Wenn 4 eine Lösung sein soll, dann nur für s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)
4 = s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)
4 = s/5 + 1/5*sqrt(s^2 + 20)
20 = s + sqrt(s^2 + 20)
20 - s = sqrt(s^2 + 20)
(20 - s)^2 = s^2 + 20
400 - 40*s + s^2 = s^2 + 20 | - s^2 - 20 + 40*s
380 = 40*s
s = 19/2 Widerspruch zur Annahme s<0!!!
2. Fall:
Für s=0 ist 4 keine Lösung!
3. Fall
Für s>0 gilt:
0 < s/5 und |s/5| = s/5
0 < s/5 und s/5 < sqrt(s^2/25 + 20/25)
-sqrt(s^2/25 + 20/25) < -s/5 < 0 | + s/5
s/5 - sqrt(s^2/25 + 20/25) < 0 < s/5
Wenn 4 eine Lösung sein soll, dann nur für s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)
4 = s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)
... (wie im 1. Fall)
s = 19/2
x_2 = s/5 - sqrt(s^2/25 + 20/25)
x_2 = 19/(2*5) - sqrt(361/100 + 80/100)
x_2 = 19/10 - sqrt(441/100)
x_2 = 19/10 - 21/10
x_2 = -2/10
x_2 = -1/5
a) Die zweite Lösung lautet -1/5.
b) Der Parameter s ist 19/2
zu 2)
a) 4*x^2 - 8*x - 5
4*x^2 - 8*x - 5 = 0
x^2 - 2*x - 5/4 = 0
x_12 = 1 +- sqrt(1 + 5/4)
x_12 = 1 +- sqrt(9/4)
x_12 = 1 +- 3/2
x_1 = 1 - 3/2 = -1/2
x_2 = 1 + 3/2 = 5/2
4*x^2 - 8*x - 5 = 4*(x + 1/2)*(x - 5/2)
b) x^2 + 3*x + 5
x^2 + 3*x + 5 = 0
Die Diskriminante p^2/4-q (hier: 9/4 - 5) ist kleiner als Null, es gibt keine reellen Nullstellen, also läßt sich dieser quadratische Term nicht in Linearfaktoren zerlegen!
zu 3)
L = {x \ 3*x^2 - 22*x - 8 = 0}
3*x^2 - 22*x - 8 = 0
x^2 - 22/3 - 8/3 = 0
x_12 = 11/3 +- sqrt(121/9 + 24/9)
x_12 = 11/3 +- sqrt(145/9)
x_12 = 11/3 +- 1/3*sqrt(145)
x_12 = 1/3*(11 +- sqrt(145))
x_1 = 1/3*(11 - sqrt(145))
x_1 = 1/3*(11 - 12,041594578792295480128241030379)
x_1 = 1/3*(-1,041594578792295480128241030379)
x_1 = -0,3471981929307651600427470101262
x_2 = 1/3*(11 + sqrt(145))
x_2 = 1/3*(11 + 12,041594578792295480128241030379)
x_2 = 1/3*(23,041594578792295480128241030379)
x_2 = 7,6805315262640984933760803434595
L = { -0,3471981929307651600427470101262 ; 7,6805315262640984933760803434595}
zu 4)
r*x^2 + s*x + t = 0
x^2 + s/r*x + t/r = 0
1. Fall: s^2 - 4*t*r < 0
keine Lösungen
2. Fall: s^2 - 4*t*r = 0
x_12 = -s/(2*r)
Doppelte Nullstelle = Berührpunkt an dieser Stelle = Scheitelpunkt an dieser Stelle = Extremstelle!
3. Fall: s^2 - 4*t*r > 0
x_12 = -s/(2*r) +- sqrt(s^2/(4*r^2) - t/r)
x_12 = -s/(2*r) +- sqrt(s^2/(4*r^2) - (4*t*r)/(4*r^2))
x_12 = -s/(2*r) +- 1/(2*r)*sqrt(s^2 - (4*t*r))
x_12 = 1/(2*r) * (-s +- sqrt(s^2 - (4*t*r))
x_1 = 1/(2*r) * (-s + sqrt(s^2 - (4*t*r))
x_2 = 1/(2*r) * (-s - sqrt(s^2 - (4*t*r))
zu 5)
(6*x - 2)/(2*x + 1) + (5*x - 3)/(2*x - 1) = 10/(4*x^2 - 1)
(6*x - 2)/(2*x + 1) + (5*x - 3)/(2*x - 1) = 10/((2*x - 1)*(2*x + 1))
a) Definitionsmenge sind alle x, für die keiner der Nenner 0 wird:
2*x - 1 = 0 oder 2*x + 1 = 0
2*x = 1 oder 2*x = -1
x = 1/2 oder x = -1/2
Definitionsmenge: R\{-1/2 ; 1/2}
b)
((6*x - 2)*(2*x - 1))/((2*x - 1)*(2*x + 1)) + ((5*x - 3)*(2*x + 1))/((2*x - 1)*(2*x + 1)) = 10/((2*x - 1)*(2*x + 1))
Lösungsmenge in R sind höchstens die Lösungen des Zählers, da der Hauptnenner bereits gebildet wurde.
(12*x^2 - 10*x + 2) + (10*x^2 - x - 3) = 10
22*x^2 - 11*x - 1 = 10
22*x^2 - 11*x - 11 = 0
x^2 - 1/2*x - 1/2 = 0
x_12 = 1/4 +- sqrt(1/16 + 1/2)
x_12 = 1/4 +- sqrt(9/16)
x_12 = 1/4 +- 3/4
x_1 = 1/4 - 3/4 = -1/2 ; entfällt, da nicht in der Definitionsmenge
x_2 = 1/4 + 3/4 = 1
L = {1}
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