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beccy

beccy

12:09 Uhr, 22.04.2007

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Hallo,



ich komme mit ein paar Aufgaben überhaupt nicht klar. Ich hoffe mir kann einer weiter helfen??



1. 5 x² + sx - 4 = 0 hat die Lösung 4.

a) Wie heißt die zweite Lösung?

B) s = ??



2. Zerlegen Sie bitte die quadratischen Terme

a) 4 x² - 8 x -5

b) x² + 3 x +5 in Linearfaktoren in Q.



3. Bestimmen sie bitte mit Hilfe der Formel

L = {x \ 3x² -22x - 8 = 0}



4. Gegeben sei eine quadratische Gleichung der Form

rx² + sx + t = 0

mit r,s,t €Q und r ungleich 0.

Geben sie bitte die Formel zur Bestimmung der Lösungen dieser Gleichung an.



5. Bestimmen sie bitte:

6x - 2 5X - 3 10

L = {x | ------ + ------ = ------- }

2x + 1 2x - 1 4x² - 1



a) die Definitionsmenge

b) die Lösungsmenge in R



Danke im vorraus!!

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m-at-he

m-at-he

10:42 Uhr, 23.04.2007

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Hallo,



zu 1)

5*x^2 + s*x - 4 = 0 | /5

x^2 + s/5*x - 4/5 = 0

x_12 = s/5 +- sqrt(s^2/25 + 20/25)



Eine Lösung soll 4 sein.



Es gilt:

0 < 20/25

s^2/25 < s^2/25 + 20/25

sqrt(s^2/25) < sqrt(s^2/25 + 20/25)

|s/5| < sqrt(s^2/25 + 20/25)



1. Fall:

Für s<0 gilt:

s/5 < 0 und |s/5| = -s/5

s/5 < 0 und -s/5 < sqrt(s^2/25 + 20/25)

s/5 < 0 und -sqrt(s^2/25 + 20/25) < s/5

-sqrt(s^2/25 + 20/25) < s/5 < 0 | +s/5

s/5 -sqrt(s^2/25 + 20/25) < 2*s/5 < s/5 < 0



Wenn 4 eine Lösung sein soll, dann nur für s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)

4 = s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)

4 = s/5 + 1/5*sqrt(s^2 + 20)

20 = s + sqrt(s^2 + 20)

20 - s = sqrt(s^2 + 20)

(20 - s)^2 = s^2 + 20

400 - 40*s + s^2 = s^2 + 20 | - s^2 - 20 + 40*s

380 = 40*s

s = 19/2 Widerspruch zur Annahme s<0!!!



2. Fall:

Für s=0 ist 4 keine Lösung!



3. Fall

Für s>0 gilt:

0 < s/5 und |s/5| = s/5

0 < s/5 und s/5 < sqrt(s^2/25 + 20/25)

-sqrt(s^2/25 + 20/25) < -s/5 < 0 | + s/5

s/5 - sqrt(s^2/25 + 20/25) < 0 < s/5



Wenn 4 eine Lösung sein soll, dann nur für s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)

4 = s/5 + sqrt(s^2/25 + 20/25)

... (wie im 1. Fall)

s = 19/2



x_2 = s/5 - sqrt(s^2/25 + 20/25)

x_2 = 19/(2*5) - sqrt(361/100 + 80/100)

x_2 = 19/10 - sqrt(441/100)

x_2 = 19/10 - 21/10

x_2 = -2/10

x_2 = -1/5



a) Die zweite Lösung lautet -1/5.

b) Der Parameter s ist 19/2



zu 2)

a) 4*x^2 - 8*x - 5

4*x^2 - 8*x - 5 = 0

x^2 - 2*x - 5/4 = 0

x_12 = 1 +- sqrt(1 + 5/4)

x_12 = 1 +- sqrt(9/4)

x_12 = 1 +- 3/2

x_1 = 1 - 3/2 = -1/2

x_2 = 1 + 3/2 = 5/2



4*x^2 - 8*x - 5 = 4*(x + 1/2)*(x - 5/2)



b) x^2 + 3*x + 5

x^2 + 3*x + 5 = 0



Die Diskriminante p^2/4-q (hier: 9/4 - 5) ist kleiner als Null, es gibt keine reellen Nullstellen, also läßt sich dieser quadratische Term nicht in Linearfaktoren zerlegen!



zu 3)

L = {x \ 3*x^2 - 22*x - 8 = 0}

3*x^2 - 22*x - 8 = 0

x^2 - 22/3 - 8/3 = 0

x_12 = 11/3 +- sqrt(121/9 + 24/9)

x_12 = 11/3 +- sqrt(145/9)

x_12 = 11/3 +- 1/3*sqrt(145)

x_12 = 1/3*(11 +- sqrt(145))

x_1 = 1/3*(11 - sqrt(145))

x_1 = 1/3*(11 - 12,041594578792295480128241030379)

x_1 = 1/3*(-1,041594578792295480128241030379)

x_1 = -0,3471981929307651600427470101262

x_2 = 1/3*(11 + sqrt(145))

x_2 = 1/3*(11 + 12,041594578792295480128241030379)

x_2 = 1/3*(23,041594578792295480128241030379)

x_2 = 7,6805315262640984933760803434595



L = { -0,3471981929307651600427470101262 ; 7,6805315262640984933760803434595}



zu 4)

r*x^2 + s*x + t = 0

x^2 + s/r*x + t/r = 0



1. Fall: s^2 - 4*t*r < 0

keine Lösungen



2. Fall: s^2 - 4*t*r = 0

x_12 = -s/(2*r)

Doppelte Nullstelle = Berührpunkt an dieser Stelle = Scheitelpunkt an dieser Stelle = Extremstelle!



3. Fall: s^2 - 4*t*r > 0

x_12 = -s/(2*r) +- sqrt(s^2/(4*r^2) - t/r)

x_12 = -s/(2*r) +- sqrt(s^2/(4*r^2) - (4*t*r)/(4*r^2))

x_12 = -s/(2*r) +- 1/(2*r)*sqrt(s^2 - (4*t*r))

x_12 = 1/(2*r) * (-s +- sqrt(s^2 - (4*t*r))

x_1 = 1/(2*r) * (-s + sqrt(s^2 - (4*t*r))

x_2 = 1/(2*r) * (-s - sqrt(s^2 - (4*t*r))



zu 5)

(6*x - 2)/(2*x + 1) + (5*x - 3)/(2*x - 1) = 10/(4*x^2 - 1)

(6*x - 2)/(2*x + 1) + (5*x - 3)/(2*x - 1) = 10/((2*x - 1)*(2*x + 1))



a) Definitionsmenge sind alle x, für die keiner der Nenner 0 wird:

2*x - 1 = 0 oder 2*x + 1 = 0

2*x = 1 oder 2*x = -1

x = 1/2 oder x = -1/2



Definitionsmenge: R\{-1/2 ; 1/2}



b)

((6*x - 2)*(2*x - 1))/((2*x - 1)*(2*x + 1)) + ((5*x - 3)*(2*x + 1))/((2*x - 1)*(2*x + 1)) = 10/((2*x - 1)*(2*x + 1))



Lösungsmenge in R sind höchstens die Lösungen des Zählers, da der Hauptnenner bereits gebildet wurde.



(12*x^2 - 10*x + 2) + (10*x^2 - x - 3) = 10

22*x^2 - 11*x - 1 = 10

22*x^2 - 11*x - 11 = 0

x^2 - 1/2*x - 1/2 = 0

x_12 = 1/4 +- sqrt(1/16 + 1/2)

x_12 = 1/4 +- sqrt(9/16)

x_12 = 1/4 +- 3/4

x_1 = 1/4 - 3/4 = -1/2 ; entfällt, da nicht in der Definitionsmenge

x_2 = 1/4 + 3/4 = 1



L = {1}
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