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Wie "Penrose"-Verhalten in Beweisführung vermeiden

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Kaje97

Kaje97 aktiv_icon

16:27 Uhr, 15.05.2019

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Ich trete zurzeit ein Informatik-Studium an und habe, wie erwartet, mit viel Mathematik gerechnet. So weit stellt sich das Verständnis derselben für mich kein Problem dar, zumindest wenn ich es nochmals lese und es mir innerlich selbst erkläre. Meine Problematik ist hier nur eine, und eine, die so gravierend ist, dass sie mir zu viel Zeit raubt: Die Beweisführung.

Ich habe das in etwa "Penrose"-Verhalten genannt, weil es sich genauso anfühlt wenn ich Beweise führe. Ich kenne die Regeln, bspw. von den Axiomen der Mengenlehre und versuche damit einen Beweis zu führen. Aber jedes Mal ist es so, dass ich wieder bei der ursprünglichen Aussage/Formel ankomme, ich also praktisch nur Umformungen mache, aber nicht wirklich den "Bereich" verlasse, der zum Beweis führt, trotzdessen ich die axiomatischen Regeln verwende!? Wie kann ich das vermeiden? Ich verstehe es leider nicht. Ich kann zwar im Nachhinein Beweise nachvollziehen, aber selbst einen solchen aufzustellen schlägt bei mir zurzeit noch fehl.

Ich habe versucht den intuitiven Vorgang von mir relativ genau zu beschreiben. Die Peano-Treppe verdeutlicht meinen intuitiven Vorgang am deutlichsten. Wie kann ich das vermeiden? Wie kann ich darauskommen und IN den eigentlichen Beweis übergehen, sodass ich am Schluss an meinem Ziel ankomme und nicht wieder beim Anfang (Start) lande?

MfG,
Kaje.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

18:42 Uhr, 15.05.2019

Antworten
Hallo
was du falsch machst ausser dich in Kreisen bewegen ist aus deinem post mir nicht klar, was eine "Peano-Treppe" ist, weiss ich z.b. nicht, also am besten schilderst du mal einen oder 2 deiner Beweisversuche.
Gruß ledum
Kaje97

Kaje97 aktiv_icon

08:28 Uhr, 16.05.2019

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Ok. Ich erläutere mal hier ein Beispiel mit Mengenoperationen. Zunächst einmal die Axiome: Es seien X, Y und Z Teilmengen der Universalmenge U.

Identitätsgesetze:
X=X
XU=X

Dominationsgesetze:
XX¯=U
XX¯=

Sowie Assoziativgesetze, Kommutativgesetze und Distributivgesetze.


Als Beispiel nehmen wir, dass wir aus diesen oben genannten Axiomen der Mengenoperationen beweisen sollen, dass
XU=U und X= ist.

Schaue ich mir XU=U an, so gehe ich nach den Axiomen folgendermaßen vor:

=XU
=(XU)X¯
=(XX¯U)
=UU
...


=U

Spätestens ab dem Schritt also "U vereinigt U" entstehen dann meine Zirkelschlüsse, dieses "im Kreis drehen" beim Beweisen. Ganz gleich welchen Versuch ich wage, es geht nicht und ich komme aus diesem Teufelskreis nicht mehr raus. Entweder komme ich wieder bei X vereinigt U zurück oder wieder bei U vereinigt U an. Niemals aber lande ich bei U. Es gelingt mir nicht. Und es passiert mir ständig und es raubt mir die meiste Zeit beim Beweisen. Ist es denn nicht irgendwie möglich, dass man solche "Zirkel" oder "im Kreis gehen" bei der Beweisführung vermeiden kann? Ich weiß, dass Beweise "intuitiv" sein sollen, aber irgendeine Funktionalität muss es ja geben, irgendwas, damit man an das Ziel herankommt.

MfG,
Kaje.
Antwort
Maki76

Maki76 aktiv_icon

11:56 Uhr, 19.05.2019

Antworten
Hi Kaje,

Du beweist zuerst die Idempotenz XX=X :
XX
=(XX)U (Identitätsgesetz)
=(XX)(XX¯) (Dominationsgesetz)
=X(XX¯) (Distributivgesetz)
=X (Dominationsgesetz)
=X (Identitätsgesetz)

Im nächsten Schritt zeigst Du, dass XU=U :
XU
=X(XX¯) (Dominationsgesetz)
=(XX)X¯ (Assoziativität)
=XX¯ (Idempotenz)
=U (Dominationsgesetz)

Dann benutzt Du die Idempotenz, um zu zeigen, dass X= :
X
=X(XX¯) (Dominationsgesetz)
=(XX)X¯ (Assoziativgesetz)
=XX¯ (Idempotenzgesetz)
= (Dominationsgesetz)

Hilft Dir das weiter?

Gruß
Maki
Kaje97

Kaje97 aktiv_icon

19:25 Uhr, 22.05.2019

Antworten
Hallo, Maki76
Also, ja im Nachhinein wird mir klar, wie der Beweis nachzuvollziehen ist. Aber wie komme ich selbst auf diesen Beweis, ohne dort in einen Zirkelschluss zu geraten (also wieder am Startpunkt zu landen) oder ist das wirklich nur intuitiv machbar? Bei mir drehe ich mich bei der Beweisführung immer im Kreis. Ich kann es nicht genau ausdrücken.

MfG,
Kaje.
Antwort
Maki76

Maki76 aktiv_icon

11:51 Uhr, 23.05.2019

Antworten
Hi,

ich kann Dir da leider kein Patentrezept geben.
Das ist wohl eine Frage der Übung, dass Du ein
Auge für solche Umformungen entwickelst.

Bei mir ist es so, dass ich gerne mal den Beweis
rückwärts angehe. Als Beispiel hier den Beweis für
XU=U

Ich beginne mit der rechten Seite - also U. Dann
schaue ich in den Axiomen was davon gleich U ist.

Das ist der Fall für XX¯

Dann betrachte ich den Beweis in umgekehrter Richtung,
d.h. XU=X(XX¯)

Damit haben wir die U-s weg und es bleibt zu zeigen,
dass X(XX¯)=XX¯

Das ist die Idempotenz.

Damit bin ich fertig und kann den Beweis in der
richtigen Reihenfolge aufschreiben.

Ich schaue halt, dass der Anfang vom Beweis und das
Ende vom Beweis sich in der Mitte treffen.

Gruß
Maki
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