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Stetigkeit mit Fallunterscheidung?

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Stetigkeit

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

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14:16 Uhr, 28.11.2018

Hallo zusammen!

Ich habe folgende Aufgabe:

(a)

Zeigen Sie, dass die Wurzelfunktion

f : R_{+ 0}

→

R, x

→√x
stetig ist. (Hinweis: Nutzen Sie eine Fallunterscheidung.)

(b)

Sei φ

: R

→

R

stetig an

0,

und sei φ(0)

= 0

. Untersuchen und begründen die Stetigkeit an 0 der Funktion

f (x) =

{

φ(x)H(x),

x

ungleich

0,}

{0, x = 0,}

wobei

H (x) = {1, x

≥

0,}

{0, x < 0}

die Heaviside Funktion bezeichnet.

Für die Aufgabe

(a)

dachte ich mir:
Sei ε

> 0

und sei δ

:=

^2

.
Wenn

| x - x_{0} |

erfüllt ist, dann folgt:

| f (x) - f (x_{0}) =

|√x -√x0|

\leq

√(x-y)

<

√δ =ε
Damit ist

f

stetig.
Nun habe ich heir keine Fallunterscheidung gemacht, da ich nicht weis, welchen Fall ich denn unterscheiden soll?

Bei der Aufgabe

(b)

bin ich mir total unsicher. Kann mir jemand Helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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22:24 Uhr, 29.11.2018

Also abgesehen von winzigen Fehlern ist deine

(a)

richtig. Ich weiß auch nicht, wo man da Fallunterscheidung benötigt.
Die Fehler:
statt

\sqrt{x - y}

lieber

\sqrt{| x - x 0 |}

lieber

| \sqrt{x} - \sqrt{y} | \leq \sqrt{| x - y |}

beweisen (geht ja schnell)

zur

(b) :

es gilt allgemein:
ist

H (x)

in einem gewissen Intervall um 0 beschränkt und

f (x) \to 0

für

x \to 0,

dann auch

H (x) \cdot f (x) \to 0

. Einsehbar

z . B

. durch das Sandwichlemma

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23:40 Uhr, 29.11.2018

Ich soll ja die Stetigkeit "an 0 der Funktion" untersuchen.
Ich habe mir jetzt gedacht, die Heaviside Funktion

(H . S . F .)

besitzt an der Stelle 0 unterschiedliche Grenzwerte (links und rechtsseitig). Dafür habe ich den

lim

gegen

0 -

und

0 +

gebildet.
Daher ist die

H . S . F

. an der Stelle 0 nicht stetig oder?

φ (x)

an der Stelle 0 ist 0 und stetig. Was sagt das jetzt über mein

f

aus? Ich verstehe das noch nicht so richtig

: (

f (x)

x = 0

ist ja

= 0

und nur für

x

ungleich 0 gilt

φ (x) H (x) . .

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00:31 Uhr, 30.11.2018

Mein Satz gilt auch, wenn

H

keinen Grenzwert hat. Der Grenzwert von deinem

f

ist 0.

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00:33 Uhr, 30.11.2018

ich glaube, ich habe es so halbwegs verstanden :-)
Viel drüber nachdenken kann ich auf jeden Fall nicht mehr, die Aufgabe muss morgen früh fertig sein. Vielen Dank!

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