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Wie allgemein gilt das (ggT und relativ prim)?
Universität / Fachhochschule
Ringe
Tags: ggT, Ring, teilerfremd
 
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Liebe (Mathe)freunde! Ich habe mal wieder eine Frage mit der ich nicht zurande komme. Eigentlich sind es drei, die allerdings zusammenhängen weswegen ich sie nicht getrennt stelle. Es handelt sich um "elementare" Aussagen über ggT und relativ prim, von denen ich mich frage wie allgemein sie gelten. Zunächst einige Definitionen (die sich ja leider immer in Nuancen unterscheiden), damit genau klar ist wovon ich rede: Ein Integritätsbereich ist ein Ring, nicht der Nullring, der kommutativ und nullteilerfrei ist. Gemäß dieser Def. braucht ein Int.bereich kein Einselement zu besitzen! Zwei Elemente eines kommutativen Rings besitzen einen (oder mehrere!) größten gemeinsamen Teiler (ggT) , wenn und falls , so . Zwei Elemente eines kommutativen Rings mit Einselement heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder gemeinsame Teiler eine Einheit ist. Zwei Elemente eines kommutativen Rings mit Einselement heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn jeder ggT eine Einheit ist. Falls die Elemente eines kommutativen Rings mit Einselement einen ggT besitzen sind die Definitionen 3 und 3' klarerweise äquivalent. Wie wird relativ prim definiert wenn nicht gewährleistet ist, dass je zwei Elemente einen ggT haben? Ich vermute mal man nimmt dann Def. 3 (und nicht Def. 3') oder? Ein Integritätsring mit Einselement heißt ggT-Ring, wenn zu je zwei Elemente ein ggT existiert. Ein Integritätsring mit Einselement heißt ZPE-Ring (oder Ring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung), wenn jedes Element ungleich 0, keine Einheit, als Produkt von irreduziblen Elementen darstellbar ist und diese Darstellung bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten eindeutig ist. Ein Integritätsring mit Einselement heißt Bezout-Ring, wenn das Lemma von Bezout gilt, d.h. wenn jeder als Linearkombination für gewisse darstellbar ist. In meinem Algebrabuch (Kowol Mitsch Algebra 1, S.106) stehen die beiden (Standard-)Behauptungen: 1) Sind relativ prim und ist dann gilt und 2) Sind relativ prim, dann ist das von erzeugte Ideal der ganze Ring . Und zwar steht im Buch das gelte für allgemeine Integritätsringe mit Einselement e. Ich schaffe beim besten Willen nicht diese Aussagen zu beweisen und vermute einen Fehler im Buch. Für Hauptidealringe ist die Sache klar. In ZPE-Ringen gilt es denk ich auch, aber da müsste ich noch drüber nachdenken. Auch in Bezout-Ringen (siehe Def. 6) ist die Sache für mich klar. Klar ist ebenfalls, dass 1) aus 2) folgt. Aber in allgeinen Integritätsringen komme ich nicht weiter. Im Buch steht bloß, dass das eine Folgerung aus einem Korollar wäre. Im Korollar wird aber ein Hauptidealring verwendet und da hat man freilich ganz andere Möglichkeiten. Speziell wichtig für mich ist ob 1) in ggT-Ringen gilt (siehe Def. 4) gilt, denn dort möchte ich die Aussage verwenden. Ich frage mich auch wie allgemein folgende (Standard-)Aussage gilt, d.h. was man außerdem noch vom Ring fordern muss: Seien zwei Elemente (nicht beide 0) eines Integritäsbereiches mit Einselmement und ein ggT von und . Dann sind und relativ prim. Bemerkung: In Integritätsringen kann man ja Brüche verwenden (d.h. sie liefern ein eindeutiges Ergebnis), sofern der "Nenner" den "Zähler" teilt (und nicht beides 0 ist). Auch diese Aussage möchte ich in einem ggT-Ring verwenden und frage mich insbesondere ob sie dort gilt. Puh, das ist lang geworden. Dafür steht aber alles hoffentlich eindeutig und vollständig da - getreu dem Motto: "Mehr ist weniger". Ich wäre total dankbar für jede Hilfe. Auch natürlich von einzelnen Fragen. Liebe Grüße, Florian Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, > Frage1: Wie wird relativ prim definiert wenn nicht gewährleistet ist, dass je zwei Elemente einen ggT haben? > Ich vermute mal man nimmt dann Def. 3 (und nicht Def. 3') oder? Man könnte bei teilerfremd auch ganz einfach wie folgt herangehen: Sei . Es gilt dann: und sind genau dann teilerfremd, wenn gilt. Allerdings weiß ich Moment auch nicht (mehr), ob in Ringen OHNE Eins eine der Definitionen stärker ist als die andere. Zu Frage 2: In welchen Ringen soll das gelten? Zu Frage 3: Wenn du und schreibst, so muss ja vor allem erst einmal invertierbar sein, d.h. ist eine Einheit. Oder ist hiermit der Übergang von ein Ring zum Quotientenring gemeint? Im ersten Fall ist die Sache ja trivial. Denn dann sind und ja jeweils assoziiert zu bzw. . Und der ggT ist eine Einheit, was bedeutet, dass und bzw und teilerfremd sind. Mfg Michael |
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Hallo und danke für deine Antwort! Zu 1): Ja okay, hab ich mir eigentlich eh gedacht. So kann man's natürlich auch aufschreiben. Wie das ohne 1 ist ist mir im Moment nicht so wichtig. Wäre aber sicher auch überlegenswert. Zu 2): "Und zwar steht im Buch das gelte für allgemeine Integritätsringe mit Einselement e." Und da war ich unsicher. Ich weiß mittlerweile, dass diese Buchaussage tatsächlich falsch ist. Und zwar - und da muss ich mich entschuldigen! - weil ich die Frage in einem anderen Forum später auch gepostet habe. Der Grund für dieses Verhalten ist aber denk' ich nachvollziehbar: Aus irgendeinem Grund wurde meine Frage ständig geschlossen, weil "sich der Teilnehmer nicht mehr für die Frage interessiert." Dabei habe ich täglich mehrmals nachgesehen. Wenn es dich interessiert ist hier der Link zur Antwort in dem anderen Forum: groups.google.com/forum/#!topic/de.sci.mathematik/C1m89GwOi0M Liebe Grüße und noch einmal vielen Dank! Florian |
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