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Wie berechne ich das Erlösmaximum?

Schüler Berufskolleg,

Tags: E(x)=-3x^2+21x

jacqui123 aktiv_icon

17:12 Uhr, 13.04.2012

Wie muss ich das Erlösmaximum berechnen?

E (x) = - 3 x^{2} + 21 x

Weiß echt nicht mehr weiter.

Mein Versuch bisher:

- 3 x^{2} + 21 x

| : (- 3)

- 3 [(x^{2} - 7) + {3,5}^{2} - {3,5}^{2}]

- 3 [{(x - 3,5)}^{2} - 12,25]

- 3 [{(x - 3,5)}^{2} + 36,75 | \cdot (- 3)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Atlantik aktiv_icon

17:16 Uhr, 13.04.2012

1. Ableitung bilden und dann

= 0

setzen.

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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jacqui123 aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.04.2012

Was heißt Ableitung bilden?

dapso aktiv_icon

17:23 Uhr, 13.04.2012

Hallo
An deiner Form am Ende kann man den Scheitelpunkt der Parabel und somit das Maximum der Funktion ablesen (da die Parabel nach unten geöffnet ist), nämlich

(3.5 / 36.75)

jacqui123 aktiv_icon

17:36 Uhr, 13.04.2012

Ist das nicht falsch gerechnet?

dapso aktiv_icon

17:46 Uhr, 13.04.2012

Es ist richtig. Warum sollte es falsch sein? Was wolltest du denn sonst mit deiner Umformung bezwecken?

Atlantik aktiv_icon

18:12 Uhr, 13.04.2012

Ich zeige es dir mit der Ableitung.(Geht schneller):

Allgemein:

y = a \cdot x^{n}

y

´=

a \cdot n \cdot x^{n - 1}

E (x) = - 3 x^{2} + 21 x

E

(x) = - 3 \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} + 21 \cdot 1 \cdot x^{1 - 1}

E

(x) = - 6 \cdot x^{1} + 21 \cdot 1 \cdot x^{0}

E

(x) = - 6 \cdot x + 21

E

(x) = 0

- 6 \cdot x + 21 = 0

x_{M} = 3,5

und

y_{m} = - 3 \cdot {3,5}^{2} + 21 \cdot 3,5 = 36,75

mfG

Atlantik

jacqui123 aktiv_icon

18:14 Uhr, 13.04.2012

Dachte, dass ich die quadratische Ergänzung falsch angewendet habe.
Und draus berechnet man WIE die Nullstellen?
Rechnet man diese aus der Funktion

E (x)

?
Wäre sehr Netz wenn der Rechenweg mit angegeben wird.
MfG

jacqui123 aktiv_icon

18:15 Uhr, 13.04.2012

Vielen dank!

dapso aktiv_icon

18:20 Uhr, 13.04.2012

Wenn du über quadratische Ergänzung gehst, so muss man hier nicht nach Nullstellen suchen. Die Erlösfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel. Jetzt wird das Maximum von dieser Funktion gesucht. Das Maximum ist hier der Scheitelpunkt der Parabel. Um den Scheitlpunkt der Funktion ablesen zu können, kann man die Funktion in Scheitelpunktform bringen. Das ist eben was du oben gemacht hast.

f (x) = - 3 (x - 3.5)^{2} + 36.75

oder allgemeiner

g (x) = a (x - b) + c

. Der Scheitelpunkt ist dann

(b / c)

oder in dem speziellen Fall

(3.5 / 36.75)

.

Die Ableitung kennst du noch nicht?

prodomo aktiv_icon

18:25 Uhr, 13.04.2012

Da du "was heißt Ableitung" geantwortet hast, darfst du dieses Verfahren wahrscheinlich in Klausuren etc. nicht benutzen. Daher zurück zur quadratischen Ergänzung.

E (x) = - 3 \cdot x^{2} + 21 \cdot x = - 3 \cdot (x^{2} - 7 \cdot x) = - 3 \cdot [{(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}] = - 3 \cdot {(x - \frac{7}{2})}^{2} + \frac{49}{12}

Jetzt beachte, dass die Klammer

{(x - \frac{7}{2})}^{2}

ja immer positiv ist (minus mal minus gibt plus)
Da sie nicht negativ werden kann, ist ihr geringstmöglicher Wert Null. Der Term

- 3 \cdot {(x - \frac{7}{2})}^{2}

wäre immer negativ, würde den Erlös also mindern. Wenn er Null wird, ist daher der Erlös am größten. Dann ist

E (x) = \frac{49}{12},

also etwas mehr als 4.

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