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Wie berechne ich die Koordinaten einer Pyramide?

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, koordinaten berechnen, Quadratische Pyramide, Vektor

MatheNervt aktiv_icon

16:06 Uhr, 16.11.2023

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich vorgehe? Habe überhaupt keinen Ansatz:/

Berechne die fehlenden Koordinaten der Eckpunkte

C, D

und

S

einer quadratischen Pyramide, wenn man folgende Koordinaten bereits kennt:

A = (2 | - 4 | 4), B = (5 | 1 | 8), C = (8 | - 4 | c 3)

und

S = (s 1 | s 2 | | 14)

Zur Kontrolle:

C = (8 | - 4 | 12), S = (- 3 - 4 | 14)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Respon

16:25 Uhr, 16.11.2023

Überprüfe deine Angaben !

HJKweseleit aktiv_icon

16:40 Uhr, 16.11.2023

Übe zunächst, so ein Bild zu zeichnen, wie ich es beifüge. Wenn du in einer Klausur zu lange dafür brauchst oder es mißlingt, wirst du unnötig nervös!

Trage die Punkte ein. Bezeichne die Kanten mit Vektoren (von A zu B, von B zu C ...) mit den Vektorkomponenten. Damit solltest du weiterkommen.

MatheNervt aktiv_icon

18:06 Uhr, 16.11.2023

Ich muss es aber “berechnen“, nicht angeben

Respon

21:03 Uhr, 16.11.2023

\vec{A B} = (\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix})

\vec{B C} = (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ c_{3} - 8 \end{matrix})

\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0

(\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ c_{3} - 8 \end{matrix}) = 0 \Rightarrow c_{3} = 12

C (8 | - 4 | 12)

Halbierungspunkt der Diagonale

H_{\bar{A C}} = (5 | - 4 | 8)

Normalvektor der Grundfläche

\vec{n} = \vec{A B} x \vec{B C} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

( schon vereinfach )
Gerade, auf der die Höhe liegt.

h : \vec{x} = \vec{H} + λ \cdot \vec{n}

\vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 8 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix})

x = 5 + 4 \cdot λ

y = - 4 + 0 \cdot λ

14 = 8 - 3 \cdot λ \Rightarrow λ = - 2 \Rightarrow x = s_{1} = - 3, y = s_{2} = - 4

S (- 3 | - 4 | 14)

( Zu den letzten Rechenschritten gibt es auch Alternativen. )
(Tippfehler suchen, finden, ausbessern )

Randolph Esser aktiv_icon

01:01 Uhr, 18.11.2023

Alternative mit LGS statt Normale:

Zunächst

c_{3}

bestimmen wie Respon:

0 = < A - B, B - C > = < (\begin{matrix} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 3 \\ 5 \\ 8 - c_{3} \end{matrix}) > = - 48 + 4 c_{3} \Leftrightarrow c_{3} = 12

.

Dann

D :

D = C + A - B = (\begin{matrix} 5 \\ - 9 \\ 8 \end{matrix})

.

Und dann

s_{1}

und

s_{2}

per LGS:

0 = < S - \frac{B + D}{2}, A - B > = < (\begin{matrix} s_{1} - 5 \\ s_{2} + 4 \\ 6 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{matrix}) > = - 3 s_{1} - 5 s_{2} - 29 (I)

0 = < S - \frac{B + D}{2}, A - C > = < (\begin{matrix} s_{1} - 5 \\ s_{2} + 4 \\ 6 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 6 \\ 0 \\ - 8 \end{matrix}) > = - 6 s_{1} - 18 (I I)

(I I)

liefert

s_{1} = - 3

und das in

(I)

eingesetzt dann

s_{2} = - 4

.

Somit haben wir

A = (\begin{matrix} 2 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 8 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 8 \\ - 4 \\ 12 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 5 \\ - 9 \\ 8 \end{matrix}), S = (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 14 \end{matrix})

.

Man kann natürlich auch das LGS

0 = < S - \frac{A + C}{2}, A - B >

0 = < S - \frac{A + C}{2}, A - C >

(welche noch ?) nehmen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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